Номер 734, страница 176 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

§ 24. Метод геометрических мест точек в задачах на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 734, страница 176.

734. Постройте треугольник по стороне, противолежащему ей углу и разности двух других сторон.

Для решения задачи построения треугольника по стороне, противолежащему ей углу и разности двух других сторон, проведём анализ, на основе которого составим план построения, докажем его корректность и исследуем возможное количество решений.

Пусть нам даны отрезок $a$ (сторона), угол $\alpha$ (противолежащий угол) и отрезок $d$ (разность двух других сторон). Мы ищем треугольник $ABC$ такой, что $BC = a$, $\angle BAC = \alpha$ и $|AC - AB| = d$.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. Для определённости, пусть $AC > AB$, тогда $AC - AB = d$.
Отложим на большей стороне $AC$ отрезок $AD$, равный стороне $AB$. В этом случае точка $D$ окажется между точками $A$ и $C$. Длина отрезка $CD$ будет равна $AC - AD = AC - AB = d$.
Рассмотрим получившийся треугольник $ABD$. Так как $AB = AD$ по построению, он является равнобедренным. Угол при его вершине $A$ равен данному углу $\alpha$, то есть $\angle BAD = \alpha$. Углы при основании $BD$ равны и вычисляются как $\angle ABD = \angle ADB = \frac{180^{\circ} - \alpha}{2} = 90^{\circ} - \frac{\alpha}{2}$.
Теперь рассмотрим угол $\angle BDC$. Он является смежным с углом $\angle ADB$, поэтому его величина равна $\angle BDC = 180^{\circ} - \angle ADB = 180^{\circ} - (90^{\circ} - \frac{\alpha}{2}) = 90^{\circ} + \frac{\alpha}{2}$.
В результате мы получили треугольник $BDC$, в котором нам известны два элемента и можем найти третий:

• Сторона $CD = d$ (по построению).
• Сторона $BC = a$ (дана по условию).
• Угол $\angle BDC = 90^{\circ} + \frac{\alpha}{2}$ (вычислен).

Треугольник $BDC$ можно построить по двум сторонам ($a$ и $d$) и углу, противолежащему одной из них ($\angle BDC$ напротив стороны $BC=a$).
После построения треугольника $BDC$, вершину $A$ искомого треугольника можно найти. Она должна лежать, во-первых, на прямой, содержащей сторону $CD$. Во-вторых, так как $AB=AD$, точка $A$ должна быть равноудалена от точек $B$ и $D$, а значит, лежать на серединном перпендикуляре к отрезку $BD$.
Таким образом, вершина $A$ — это точка пересечения прямой $CD$ и серединного перпендикуляра к отрезку $BD$.

Построение

На основе анализа составим план построения с помощью циркуля и линейки.
1. Строим угол, равный $\frac{\alpha}{2}$, для чего делим данный угол $\alpha$ пополам (строим его биссектрису).
2. Строим прямой угол ($90^{\circ}$) и прибавляем к нему построенный угол $\frac{\alpha}{2}$, получая угол $\beta = 90^{\circ} + \frac{\alpha}{2}$.
3. Проводим произвольную прямую и откладываем на ней отрезок $CD$, равный данному отрезку $d$.
4. От луча $DC$ строим луч $DM$ так, чтобы $\angle CDM = \beta = 90^{\circ} + \frac{\alpha}{2}$.
5. С центром в точке $C$ проводим окружность радиусом, равным данному отрезку $a$.
6. Точку пересечения этой окружности с лучом $DM$ обозначаем как $B$. (Эта точка будет единственной, если $a > d$, см. Исследование).
7. Проводим прямую через точки $C$ и $D$.
8. Строим серединный перпендикуляр к отрезку $BD$.
9. Точка пересечения прямой $CD$ и серединного перпендикуляра является искомой вершиной $A$.
10. Соединяем точки $A$, $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

Проверим, что построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.
- Сторона $BC = a$ по построению (шаги 5 и 6), так как $B$ лежит на окружности с центром $C$ и радиусом $a$.
- Разность сторон $|AC - AB| = d$. Точка $A$ лежит на серединном перпендикуляре к $BD$ (шаг 8, 9), следовательно, $AB = AD$. Точка $A$ лежит на прямой $CD$, причем $D$ расположена между $A$ и $C$. Значит, $AC = AD + CD$. Заменив $AD$ на $AB$ и $CD$ на $d$, получим $AC = AB + d$, или $AC - AB = d$.
- Угол $\angle BAC = \alpha$. В равнобедренном треугольнике $ABD$ ($AB=AD$) угол $\angle ADB$ можно найти как смежный с углом $\angle BDC$. Так как $\angle BDC = 90^{\circ} + \frac{\alpha}{2}$, то $\angle ADB = 180^{\circ} - (90^{\circ} + \frac{\alpha}{2}) = 90^{\circ} - \frac{\alpha}{2}$. В треугольнике $ABD$ сумма углов равна $180^{\circ}$, поэтому искомый угол $\angle BAC = 180^{\circ} - (\angle ABD + \angle ADB) = 180^{\circ} - 2 \cdot (90^{\circ} - \frac{\alpha}{2}) = 180^{\circ} - 180^{\circ} + \alpha = \alpha$.
Таким образом, построенный треугольник удовлетворяет всем условиям.

Исследование

Ключевым шагом построения является нахождение вершины $B$ как точки пересечения луча $DM$ и окружности. Решение существует, если эта точка пересечения существует и единственна.
Вспомогательный треугольник $BDC$ строится по сторонам $CD=d$, $BC=a$ и углу $\angle BDC = 90^{\circ} + \frac{\alpha}{2}$. Поскольку $0^{\circ} < \alpha < 180^{\circ}$, угол $\angle BDC$ всегда тупой. В любом треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Следовательно, для существования треугольника $BDC$ необходимо, чтобы сторона $BC$, лежащая напротив тупого угла, была больше стороны $CD$.
Это означает, что задача имеет решение тогда и только тогда, когда $a > d$.
Если $a > d$, то окружность с центром $C$ и радиусом $a$ пересечет луч $DM$ в единственной точке. Серединный перпендикуляр к $BD$ и прямая $CD$ не параллельны (так как $B$ не лежит на прямой $CD$), поэтому они пересекутся в единственной точке $A$. В этом случае задача имеет единственное решение (при допущении, что $AC > AB$).
Если $a \le d$, то пересечения окружности с лучом не будет (или будет в точке $D$, что не образует треугольника), и задача решений не имеет.
(Если рассматривать случай $AB>AC$, анализ приводит к другим условиям, но для решения задачи достаточно одного случая).

Ответ: Построение основано на сведении задачи к построению вспомогательного треугольника $BDC$ по двум сторонам $BC=a$, $CD=d$ и углу $\angle BDC = 90^{\circ} + \frac{\alpha}{2}$. После построения этого треугольника искомая вершина $A$ находится как точка пересечения прямой $CD$ и серединного перпендикуляра к отрезку $BD$. Задача имеет решение тогда и только тогда, когда данная сторона $a$ больше данной разности $d$.

734. Радиус $OC$ окружности с центром $O$ делит пополам хорду $AB$, не являющуюся диаметром. Через точку $C$ провели касательную к окружности. Докажите, что эта касательная параллельна хорде $AB$.