Номер 727, страница 176 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

§ 24. Метод геометрических мест точек в задачах на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 727, страница 176.

727. Постройте прямоугольный треугольник по катету и сумме гипотенузы и другого катета.

Анализ

Предположим, что искомый прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$ построен. Пусть катет $AC$ равен данной длине $a$, а сумма гипотенузы $AB$ и другого катета $BC$ равна данной длине $s$, то есть $AB + BC = s$.
На луче $CB$ от точки $C$ отложим отрезок $CD$, равный $s$. Точка $B$ лежит на отрезке $CD$. Тогда $CD = CB + BD$.
Так как $CD = s$ и $AB + BC = s$, то $CB + BD = AB + BC$, откуда следует, что $BD = AB$.
Это означает, что треугольник $ABD$ является равнобедренным с основанием $AD$. В равнобедренном треугольнике вершина $B$ равноудалена от точек $A$ и $D$. Геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка, есть серединный перпендикуляр к этому отрезку.
Таким образом, точка $B$ должна лежать на пересечении прямой $CD$ и серединного перпендикуляра к отрезку $AD$. Это наблюдение и лежит в основе построения.

Построение

Пусть даны два отрезка: один длиной $a$ (катет) и другой длиной $s$ (сумма гипотенузы и другого катета), причем $s > a$.
1. Построим прямой угол с вершиной в точке $C$.
2. На одном из лучей этого угла отложим от точки $C$ отрезок $CA$, равный по длине $a$.
3. На другом луче от точки $C$ отложим отрезок $CD$, равный по длине $s$.
4. Соединим точки $A$ и $D$ отрезком.
5. Построим серединный перпендикуляр к отрезку $AD$.
6. Точка пересечения этого серединного перпендикуляра с отрезком $CD$ и будет искомой вершиной $B$.
7. Соединим точки $A$ и $B$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство

Рассмотрим построенный треугольник $ABC$.
По построению, угол $C$ прямой, то есть $\angle C = 90^\circ$.
По построению, катет $AC = a$.
Нужно доказать, что $AB + BC = s$.
Точка $B$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AD$ (по построению). По свойству серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов отрезка. Следовательно, $AB = BD$.
Точка $B$ также лежит на отрезке $CD$. Поэтому $CD = CB + BD$.
Заменяя в этом равенстве $BD$ на равный ему отрезок $AB$, получаем: $CD = CB + AB$.
Так как по построению длина отрезка $CD$ равна $s$, то $s = AB + BC$.
Таким образом, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи: он прямоугольный, один его катет равен $a$, а сумма другого катета и гипотенузы равна $s$.
Задача имеет решение только в том случае, если $s > a$. Это следует из того, что в прямоугольном треугольнике $ACD$ гипотенуза $AD$ должна быть больше катета $AC$. Если $s \le a$, то $AD = \sqrt{AC^2 + CD^2} = \sqrt{a^2 + s^2}$, и условие $s > a$ обеспечивает, что серединный перпендикуляр к $AD$ пересечет отрезок $CD$ во внутренней точке, а не в точке $C$ или за ее пределами.

Ответ: Построенный по вышеуказанному алгоритму треугольник $ABC$ является искомым, так как он прямоугольный, его катет $AC$ равен $a$ и сумма гипотенузы $AB$ и катета $BC$ равна $s$.

727. Отрезки $MK$ и $NP$ – непараллельные хорды окружности с центром $O$, $MK = NP$, точки $A$ и $B$ – середины хорд $MK$ и $NP$ соответственно. Докажите, что $\angle OAB = \angle OBA$.