Номер 721, страница 176 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

§ 24. Метод геометрических мест точек в задачах на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 721, страница 176.

721. Постройте окружность, проходящую через данную точку $A$ и касающуюся данной прямой $m$ в данной точке $B$.

Для построения окружности, проходящей через данную точку А и касающейся данной прямой m в данной точке B, необходимо определить её центр и радиус. Пусть O — центр искомой окружности.

Поскольку окружность касается прямой m в точке B, её центр O должен лежать на прямой, перпендикулярной m и проходящей через B (так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной). Обозначим эту прямую p.

Также, поскольку окружность проходит через точки A и B, её центр O должен быть равноудалён от этих точек, то есть $OA = OB$. Множество всех точек, равноудалённых от A и B, является серединным перпендикуляром к отрезку AB. Обозначим этот перпендикуляр s.

Таким образом, центр O искомой окружности является точкой пересечения двух геометрических мест точек: прямой p и прямой s. Найдя точку O, мы можем построить окружность с радиусом $R = OB$.

План построения выглядит следующим образом:

1. Провести прямую p через точку B перпендикулярно прямой m.
2. Соединить точки A и B отрезком.
3. Построить серединный перпендикуляр s к отрезку AB.
4. Обозначить точку пересечения прямых p и s как O.
5. Построить окружность с центром в точке O и радиусом, равным длине отрезка OB.

Эта окружность является искомой, так как по построению она проходит через B, касается прямой m в точке B (поскольку $OB \perp m$) и проходит через точку A (поскольку O лежит на серединном перпендикуляре к AB, то $OA = OB$).

Ответ: Центр искомой окружности находится в точке пересечения перпендикуляра к прямой m, проведённого через точку B, и серединного перпендикуляра к отрезку AB. Радиус окружности равен расстоянию от найденного центра до точки B.

721. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета – 27 см. Найдите эти стороны треугольника.