Номер 715, страница 175 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

§ 24. Метод геометрических мест точек в задачах на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 715, страница 175.

715. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведённой к одной из данных сторон.

Пусть нам даны три отрезка, длины которых равны $a$, $b$ и $m_a$. Требуется построить треугольник $ABC$, в котором сторона $BC$ равна $a$, сторона $AC$ равна $b$, а медиана $AM$ (проведенная к стороне $BC$) равна $m_a$.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. Пусть $AM$ — его медиана, проведенная к стороне $BC$. По определению медианы, точка $M$ является серединой стороны $BC$. Следовательно, $MC = \frac{1}{2}BC = \frac{a}{2}$. Рассмотрим треугольник $AMC$. В этом треугольнике нам известны все три стороны: $AC = b$, $AM = m_a$ и $MC = \frac{a}{2}$. Таким образом, мы можем построить треугольник $AMC$ по трем сторонам. Построив треугольник $AMC$, мы найдем вершины $A$, $M$ и $C$ искомого треугольника. Чтобы найти вершину $B$, нужно на луче $CM$ отложить отрезок $MB$, равный отрезку $MC$. Соединив точки $A$ и $B$, получим искомый треугольник $ABC$.

Построение

1. Строим отрезок, равный $\frac{a}{2}$. Для этого делим данный отрезок длиной $a$ пополам с помощью циркуля и линейки.
2. Строим треугольник $AMC$ по трем известным сторонам: $AC = b$, $AM = m_a$ и $MC = \frac{a}{2}$.
   • Проводим прямую и откладываем на ней отрезок $MC$ длиной $\frac{a}{2}$.
   • Из точки $C$ проводим дугу окружности радиусом $b$.
   • Из точки $M$ проводим дугу окружности радиусом $m_a$.
   • Точка пересечения этих дуг будет вершиной $A$.
3. На прямой $CM$ от точки $M$ в сторону, противоположную точке $C$, откладываем отрезок $MB$, равный отрезку $MC$.
4. Соединяем точки $A$ и $B$ отрезком.
5. Треугольник $ABC$ — искомый.

Ответ: Треугольник $ABC$ построен.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ сторона $AC$ равна $b$ по построению (как радиус дуги с центром в C). Отрезок $AM$ равен $m_a$ по построению (как радиус дуги с центром в M). Сторона $BC$ состоит из двух отрезков $BM$ и $MC$. По построению, $MC = \frac{a}{2}$ и $BM = MC = \frac{a}{2}$. Следовательно, $BC = BM + MC = \frac{a}{2} + \frac{a}{2} = a$. Так как $M$ — середина отрезка $BC$, то $AM$ является медианой треугольника $ABC$, проведенной к стороне $BC$. Таким образом, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Построенный треугольник является искомым.

Исследование

Задача имеет решение не при любых значениях $a, b, m_a$. Основной шаг построения — это построение треугольника $AMC$ по трем сторонам $b, m_a$ и $\frac{a}{2}$. Такой треугольник можно построить тогда и только тогда, когда для его сторон выполняется неравенство треугольника, то есть каждая сторона меньше суммы двух других:

• $b + m_a > \frac{a}{2}$
• $b + \frac{a}{2} > m_a$
• $m_a + \frac{a}{2} > b$

Если эти условия выполняются, то задача имеет единственное решение (с точностью до конгруэнтности, так как дуги окружностей пересекутся в двух точках, симметричных относительно прямой $MC$, что приведет к построению двух равных треугольников). Если хотя бы одно из этих неравенств не выполняется (или превращается в равенство), то построить треугольник $AMC$ невозможно, и, следовательно, задача не имеет решения.

Ответ: Задача имеет единственное (с точностью до конгруэнтности) решение, если длины отрезков $b, m_a$ и $\frac{a}{2}$ удовлетворяют неравенству треугольника.

715. Высоты $AM$ и $CK$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$, $OK = OM$, $\angle BAM = \angle ACK$. Докажите, что треугольник $ABC$ – равносторонний.