Номер 719, страница 176 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

§ 24. Метод геометрических мест точек в задачах на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 719, страница 176.

719. На данной окружности постройте точку, равноудалённую от двух данных пересекающихся прямых. Сколько решений может иметь задача?

На данной окружности постройте точку, равноудалённую от двух данных пересекающихся прямых.

Решение задачи основано на использовании метода геометрических мест точек (ГМТ). Искомая точка должна удовлетворять двум условиям:

1. Принадлежать данной окружности.
2. Быть равноудалённой от двух данных пересекающихся прямых.

Геометрическим местом точек, равноудалённых от двух пересекающихся прямых (обозначим их $l_1$ и $l_2$), является пара биссектрис углов, которые образуют эти прямые. Эти биссектрисы представляют собой две взаимно перпендикулярные прямые (обозначим их $b_1$ и $b_2$), проходящие через точку пересечения прямых $l_1$ и $l_2$.

Следовательно, чтобы найти искомую точку, необходимо найти точки пересечения ГМТ из второго условия (биссектрис $b_1$ и $b_2$) с ГМТ из первого условия (данной окружностью).

Порядок построения:

1. Построить биссектрисы углов, образованных данными пересекающимися прямыми. Получим две прямые, $b_1$ и $b_2$.
2. Найти точки, в которых эти биссектрисы пересекают данную окружность.

Любая из найденных точек пересечения будет лежать на окружности и будет равноудалена от двух данных прямых, то есть является решением задачи.

Ответ: Искомые точки — это точки пересечения данной окружности с биссектрисами углов, образованных данными прямыми.

Сколько решений может иметь задача?

Количество решений задачи равно общему числу точек пересечения построенных биссектрис ($b_1$ и $b_2$) с данной окружностью. Одна прямая может пересекать окружность в двух точках, касаться её в одной точке или не иметь с ней общих точек. В зависимости от взаимного расположения окружности и биссектрис возможно следующее количество решений:

• 4 решения: если каждая из двух биссектрис является секущей для окружности (пересекает её в двух точках).
• 3 решения: если одна из биссектрис является секущей, а вторая — касательной к окружности (имеет одну общую точку).
• 2 решения: если:
  • одна биссектриса является секущей, а вторая не имеет общих точек с окружностью, ИЛИ
  • обе биссектрисы являются касательными к окружности.
• 1 решение: если одна из биссектрис является касательной, а вторая не имеет общих точек с окружностью.
• 0 решений: если обе биссектрисы не имеют общих точек с окружностью.

Таким образом, в зависимости от взаимного расположения окружности и прямых, задача может иметь от нуля до четырех решений.

Ответ: Задача может иметь 0, 1, 2, 3 или 4 решения.

719. На продолжениях гипотенузы $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ за точки $A$ и $B$ отметили соответственно точки $D$ и $E$ так, что $AC = AD$, $BC = BE$. Найдите угол $DCE$.