Номер 724, страница 176 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

§ 24. Метод геометрических мест точек в задачах на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 724, страница 176.

724. Постройте треугольник по стороне, высоте, проведённой к этой стороне, и радиусу описанной окружности. Сколько решений может иметь задача²?

Постройте треугольник по стороне, высоте, проведённой к этой стороне, и радиусу описанной окружности.

Пусть нам даны три отрезка, соответствующие стороне $a$, высоте $h_a$ и радиусу описанной окружности $R$.

Анализ:

Пусть искомый треугольник $ABC$ построен. Сторона $BC$ равна $a$, высота $AH_a$, опущенная на прямую $BC$, равна $h_a$. Все три вершины $A, B, C$ лежат на окружности $\omega$ радиуса $R$. Это означает, что $BC$ является хордой этой окружности. Вершина $A$ должна лежать на окружности $\omega$ и одновременно находиться на расстоянии $h_a$ от прямой $BC$. Геометрическим местом точек, удаленных на расстояние $h_a$ от прямой $BC$, являются две прямые, параллельные $BC$. Таким образом, вершина $A$ является точкой пересечения окружности $\omega$ и одной из этих двух параллельных прямых.

Построение:

1. Построим окружность $\omega$ с произвольным центром $O$ и заданным радиусом $R$.
2. Выберем на окружности $\omega$ произвольную точку $B$. Построим вторую окружность с центром в точке $B$ и радиусом $a$. Точка (или одна из точек) пересечения этой окружности с окружностью $\omega$ будет вершиной $C$. Соединив точки $B$ и $C$, получим сторону треугольника. (Это построение возможно, только если $a \le 2R$).
3. Проведем прямую через точки $B$ и $C$.
4. Построим две прямые, $l_1$ и $l_2$, параллельные прямой $BC$ и находящиеся на расстоянии $h_a$ от нее. Для этого можно, например, найти середину $M$ отрезка $BC$, провести через нее прямую, перпендикулярную $BC$, и отложить на этой перпендикулярной прямой отрезки длиной $h_a$ в обе стороны от точки $M$. Через концы этих отрезков провести прямые, параллельные $BC$.
5. Точки пересечения прямых $l_1$ и $l_2$ с описанной окружностью $\omega$ являются возможными положениями для вершины $A$.
6. Соединив любую из найденных точек $A$ с точками $B$ и $C$, получим искомый треугольник $ABC$.

Ответ: Построение основано на нахождении вершин треугольника как точек пересечения их геометрических мест: описанной окружности и прямых, параллельных данной стороне на расстоянии данной высоты.

Сколько решений может иметь задача?

Количество решений (неконгруэнтных треугольников) зависит от соотношения между длиной стороны $a$, высоты $h_a$ и радиуса $R$.

Во-первых, для существования решения необходимо, чтобы сторона $a$ могла быть хордой окружности радиуса $R$, то есть должно выполняться условие $a \le 2R$. Если $a > 2R$, задача не имеет решений.

Рассмотрим возможные случаи:

1. Случай $a = 2R$.

Сторона $BC$ является диаметром описанной окружности. Центр окружности $O$ лежит на стороне $BC$. Две прямые, на которых может лежать вершина $A$, симметричны относительно прямой $BC$. Поэтому треугольники, построенные на этих двух прямых, будут конгруэнтны. Количество решений определяется пересечением окружности с одной из этих прямых, находящейся на расстоянии $h_a$ от центра $O$.

• Если $h_a > R$, то прямая не пересекает окружность. Решений нет.
• Если $h_a \le R$, то прямая пересекает окружность (в одной или двух точках). Все получаемые треугольники конгруэнтны. Следовательно, существует одно решение.

2. Случай $a < 2R$.

Сторона $BC$ является хордой, не проходящей через центр. Пусть $d = \sqrt{R^2 - (a/2)^2}$ — расстояние от центра окружности $O$ до хорды $BC$. Две параллельные прямые, на которых может лежать вершина $A$, находятся на разных расстояниях от центра $O$: $d_1 = d + h_a$ и $d_2 = |d - h_a|$. Так как эти прямые несимметричны относительно центра, они порождают неконгруэнтные треугольники (углы при вершине $A$ в этих треугольниках в общем случае будут разными: $\alpha$ и $180^\circ - \alpha$). Общее число решений равно сумме числа решений от каждой прямой.

Число решений от каждой прямой равно 1, если прямая пересекает или касается окружности, и 0, если не пересекает.
Первая прямая (на расстоянии $d+h_a$ от $O$) дает решение, если $d+h_a \le R$, то есть $h_a \le R - d$.
Вторая прямая (на расстоянии $|d-h_a|$ от $O$) дает решение, если $|d-h_a| \le R$, то есть $h_a \le R+d$.

Проанализируем количество решений в зависимости от $h_a$:

• Если $h_a > R + d = R + \sqrt{R^2 - a^2/4}$, то обе прямые находятся слишком далеко от центра. Решений нет.
• Если $R - \sqrt{R^2 - a^2/4} < h_a \le R + \sqrt{R^2 - a^2/4}$, то только вторая прямая пересекает окружность. Одно решение.
• Если $0 < h_a \le R - \sqrt{R^2 - a^2/4}$, то обе прямые пересекают окружность. Два решения.

Ответ: Задача может иметь 0, 1 или 2 неконгруэнтных решения в зависимости от заданных параметров $a, h_a, R$.

• 0 решений, если $a > 2R$ или ($a=2R$ и $h_a > R$) или ($a<2R$ и $h_a > R + \sqrt{R^2 - a^2/4}$).
• 1 решение, если ($a=2R$ и $h_a \le R$) или ($a<2R$ и $R - \sqrt{R^2 - a^2/4} < h_a \le R + \sqrt{R^2 - a^2/4}$).
• 2 решения, если $a<2R$ и $0 < h_a \le R - \sqrt{R^2 - a^2/4}$.

724. Найдите угол между прямыми, на которых лежат две медианы равностороннего треугольника.