Номер 725, страница 176 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

§ 24. Метод геометрических мест точек в задачах на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 725, страница 176.

725. Постройте равносторонний треугольник по радиусу описанной окружности.

Анализ

Пусть дан отрезок, равный радиусу $R$ описанной окружности. Требуется построить равносторонний треугольник $ABC$ с помощью циркуля и линейки. Вершины искомого равностороннего треугольника должны лежать на окружности (описанной окружности) с центром в некоторой точке $O$ и радиусом $R$. Обозначим эту окружность $\omega$. В равностороннем треугольнике все стороны равны, и все углы равны $60^\circ$. Центр описанной окружности для равностороннего треугольника совпадает с его центром тяжести (точкой пересечения медиан), ортоцентром (точкой пересечения высот) и инцентром (точкой пересечения биссектрис). Стороны треугольника $AB$, $BC$ и $CA$ являются хордами окружности $\omega$. Так как стороны равны ($AB=BC=CA$), то равны и центральные углы, опирающиеся на эти хорды. Полный угол вокруг центра $O$ равен $360^\circ$, поэтому центральный угол, соответствующий каждой стороне, равен $\angle AOB = \angle BOC = \angle COA = \frac{360^\circ}{3} = 120^\circ$. Это свойство можно использовать для построения. Также можно вспомнить, что сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна радиусу этой окружности. Вершины правильного треугольника, вписанного в ту же окружность, совпадают с вершинами правильного шестиугольника, взятыми через одну.

Построение

1. Возьмем произвольную точку $O$ и построим окружность $\omega$ с центром $O$ и заданным радиусом $R$.

2. Выберем на окружности $\omega$ произвольную точку $A$. Это будет первая вершина искомого треугольника.

3. Не меняя раствора циркуля (он остается равным $R$), установим его острие в точку $A$ и проведем дугу, пересекающую окружность в двух точках. Выберем одну из них и назовем ее $B$.

4. Переставим острие циркуля в точку $B$ и тем же радиусом $R$ проведем еще одну дугу, которая пересечет окружность в точке $C$ (отличной от $A$).

5. Таким образом, мы отложили на окружности три точки $A$, $B$ и $C$. Соединим их отрезками. Полученный треугольник $ABC$ является искомым.
(Примечание: если продолжить этот процесс, мы получим 6 точек, которые являются вершинами правильного шестиугольника, а соединив точки $A, C$ и $E$ (пятую точку), мы также получим равносторонний треугольник).

Доказательство

Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle BOC$. По построению $OA = OB = OC = R$ как радиусы одной окружности $\omega$. Также по построению $AB = BC = R$ (мы откладывали хорды, равные радиусу). Следовательно, треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle BOC$ являются равносторонними, и все их углы равны $60^\circ$.

Таким образом, центральные углы $\angle AOB$ и $\angle BOC$ равны $60^\circ$. Центральный угол $\angle AOC$ можно найти как сумму $\angle AOB + \angle BOC = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$. Рассмотрим треугольник $\triangle AOC$. Он равнобедренный, так как $OA = OC = R$. Найдем его основание $AC$ по теореме косинусов: $AC^2 = OA^2 + OC^2 - 2 \cdot OA \cdot OC \cdot \cos(\angle AOC)$ $AC^2 = R^2 + R^2 - 2 \cdot R \cdot R \cdot \cos(120^\circ) = 2R^2 - 2R^2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2R^2 + R^2 = 3R^2$. Отсюда $AC = \sqrt{3R^2} = R\sqrt{3}$.

Стороны $AB$ и $BC$ по построению равны $R$. Сторона $AC$ равна $R\sqrt{3}$. Это означает, что треугольник $ABC$ не является равносторонним. В приведенном выше построении была допущена ошибка. Вершины треугольника должны быть расположены на окружности на равном расстоянии друг от друга.

Приведем корректное построение и доказательство.

Построение (исправленное)

1. Возьмем произвольную точку $O$ и построим окружность $\omega$ с центром $O$ и заданным радиусом $R$.

2. Отметим на окружности $\omega$ произвольную точку $A$.

3. Проведем через точку $A$ и центр $O$ диаметр и отметим вторую точку его пересечения с окружностью, назовем ее $D$.

4. Установим раствор циркуля равным радиусу окружности $R$. Поставим острие циркуля в точку $D$ и проведем дугу, которая пересечет окружность $\omega$ в двух точках. Назовем эти точки $B$ и $C$.

5. Соединим отрезками точки $A$, $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ – искомый.

Доказательство (исправленное)

Рассмотрим треугольники $\triangle ODB$ и $\triangle ODC$. По построению, точки $B$, $C$, $D$ лежат на окружности $\omega$, значит $OB = OD = R$ и $OC = OD = R$. Также по построению, мы провели дугу из точки $D$ радиусом $R$, и точки $B$ и $C$ лежат на этой дуге. Следовательно, $DB = R$ и $DC = R$. Таким образом, в треугольнике $\triangle ODB$ все стороны равны: $OB = OD = DB = R$. Значит, $\triangle ODB$ – равносторонний, и $\angle DOB = 60^\circ$. Аналогично, в треугольнике $\triangle ODC$ все стороны равны: $OC = OD = DC = R$. Значит, $\triangle ODC$ – равносторонний, и $\angle DOC = 60^\circ$.

Найдем центральные углы, опирающиеся на стороны треугольника $\triangle ABC$. Центральный угол $\angle BOC = \angle DOB + \angle DOC = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$. Поскольку $AD$ – диаметр, то дуга $ABD$ равна $180^\circ$. Дуга $BD$ соответствует центральному углу $\angle BOD = 60^\circ$. Значит, дуга $AB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Центральный угол $\angle AOB$ также равен $120^\circ$. Аналогично, дуга $ACD = 180^\circ$. Дуга $CD$ соответствует центральному углу $\angle COD = 60^\circ$. Значит, дуга $AC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Центральный угол $\angle AOC$ также равен $120^\circ$.

Мы получили, что центральные углы, на которые опираются стороны треугольника $\triangle ABC$, равны: $\angle AOB = \angle BOC = \angle COA = 120^\circ$. Так как равным центральным углам соответствуют равные хорды, то стороны треугольника равны: $AB = BC = CA$. Следовательно, $\triangle ABC$ – равносторонний. Все его вершины лежат на окружности $\omega$ с заданным радиусом $R$.

Ответ: Построенный по исправленному алгоритму треугольник $\triangle ABC$ является искомым равносторонним треугольником.

725. Отрезки $AC$, $AB$ и $BC$ – соответственно диаметр и хорды окружности с центром $O$, причём $AB = BC$. Найдите $\angle AOB$.