Номер 723, страница 176 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

§ 24. Метод геометрических мест точек в задачах на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 723, страница 176.

723. Постройте треугольник по двум сторонам и радиусу описанной окружности. Сколько решений может иметь задача?

Постройте треугольник по двум сторонам и радиусу описанной окружности.
Пусть даны длины двух сторон $a$ и $b$ и радиус описанной окружности $R$.
Анализ:
Все три вершины искомого треугольника $A, B, C$ должны лежать на окружности радиуса $R$ (описанной окружности). Предположим, что стороны, прилежащие к общей вершине $C$, равны $a$ и $b$, то есть $BC = a$ и $AC = b$. Тогда, выбрав на окружности точку $C$, мы можем найти положения точек $A$ и $B$ как пересечения этой окружности с другими окружностями, центры которых находятся в точке $C$, а радиусы равны $b$ и $a$ соответственно. Для существования таких точек пересечения необходимо, чтобы длины сторон не превышали диаметр окружности ($a \le 2R$ и $b \le 2R$).
Построение:

1. Построим окружность $\Omega$ с произвольным центром $O$ и заданным радиусом $R$.
2. Выберем на окружности $\Omega$ произвольную точку $C$. Она будет одной из вершин треугольника.
3. Построим окружность с центром в точке $C$ и радиусом $a$. Точка (или точки) пересечения этой окружности с окружностью $\Omega$ будет вершиной $B$.
4. Построим окружность с центром в точке $C$ и радиусом $b$. Точка (или точки) пересечения этой окружности с окружностью $\Omega$ будет вершиной $A$.
5. Соединив точки $A, B$ и $C$, получим искомый треугольник $\Delta ABC$.

Так как на шагах 3 и 4 может получиться более одной точки пересечения, необходимо проанализировать количество возможных решений.
Ответ: Алгоритм построения описан выше. Он возможен при условии, что данные длины сторон не превышают диаметра описанной окружности.

Сколько решений может иметь задача?
Количество решений (неконгруэнтных треугольников) зависит от соотношения длин данных сторон $a$, $b$ и радиуса описанной окружности $R$.
Основное условие существования решения: каждая из данных сторон не может быть длиннее диаметра описанной окружности, т.е. $a \le 2R$ и $b \le 2R$. Если это условие не выполняется, решений нет.
Рассмотрим возможные случаи, предполагая, что $a \le 2R$ и $b \le 2R$:

1. Общий случай: $a \ne b$, $a < 2R$ и $b < 2R$.
   При построении на окружности $\Omega$ мы получаем две возможные точки для вершины $A$ (назовем их $A_1$ и $A_2$), симметричные относительно прямой $OC$, и две возможные точки для вершины $B$ ($B_1$ и $B_2$), также симметричные относительно $OC$. Комбинируя их, можно построить два неконгруэнтных треугольника: $\Delta A_1CB_1$ и $\Delta A_1CB_2$. (Треугольник $\Delta A_2CB_2$ будет конгруэнтен $\Delta A_1CB_1$, а $\Delta A_2CB_1$ будет конгруэнтен $\Delta A_1CB_2$). Таким образом, в этом случае задача имеет два решения.
2. Одна из сторон является диаметром: $a = 2R$, $b < 2R$ (или наоборот).
   Для вершины $B$ существует только одна возможная точка — диаметрально противоположная точке $C$. Для вершины $A$ по-прежнему существуют две симметричные точки ($A_1$ и $A_2$). Однако получаемые треугольники $\Delta A_1CB$ и $\Delta A_2CB$ симметричны относительно диаметра $BC$ и, следовательно, конгруэнтны. Искомый треугольник — прямоугольный с гипотенузой $BC$. В этом случае задача имеет одно решение.
3. Стороны равны: $a = b < 2R$.
   Искомый треугольник — равнобедренный. Множества возможных точек для вершин $A$ и $B$ совпадают. Чтобы получить невырожденный треугольник, мы должны выбрать две разные точки из этого множества для вершин $A$ и $B$. Полученный треугольник будет единственным с точностью до конгруэнтности. Задача имеет одно решение.
4. Обе стороны являются диаметрами: $a = 2R$ и $b = 2R$.
   В этом случае точки $A$ и $B$ должны быть диаметрально противоположны точке $C$, то есть $A$ и $B$ совпадают. Треугольник вырождается в отрезок. Если рассматривать только невырожденные треугольники, то в этом случае задача не имеет решений.
5. Хотя бы одна сторона длиннее диаметра: $a > 2R$ или $b > 2R$.
   Как упоминалось ранее, хорду такой длины провести невозможно, и задача не имеет решений.

Таким образом, в зависимости от заданных значений $a, b$ и $R$, задача может иметь 0, 1 или 2 решения.
Ответ: Задача может иметь 0, 1 или 2 решения.

723. На одной стороне угла $B$ отметили точки $D$ и $A$, а на другой — точки $E$ и $C$ (рис. 345) так, что $AC \perp BC$, $DE \perp BC$, $CD \perp AB$. Найдите отрезок $DE$, если $\angle B = 30^{\circ}$, $AC = 12$ см.

Рис. 345