Номер 717, страница 175 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

§ 24. Метод геометрических мест точек в задачах на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 717, страница 175.

717. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и радиусу описанной окружности. Сколько решений может иметь задача?

Задача решается в два этапа: сначала выполняется построение, а затем проводится анализ числа возможных решений.

Построение

Пусть даны отрезок a, соответствующий основанию, и отрезок R, соответствующий радиусу описанной окружности.

1. На прямой откладываем отрезок AC длиной a.
2. Строим серединный перпендикуляр m к отрезку AC. Пусть H — середина AC.
3. Центр описанной окружности O равноудален от точек A и C на расстояние R. Для его нахождения строим окружность с центром в точке A и радиусом R. Точки пересечения этой окружности с прямой m являются возможными положениями центра O. Это построение возможно, если $R \ge a/2$.
4. Выбираем одну из точек пересечения (если они существуют) в качестве центра O и строим окружность с центром O и радиусом R (описанную окружность).
5. Находим точки пересечения описанной окружности с прямой m. Это будут третья вершина искомого треугольника, B. Таких точек может быть две, B₁ и B₂.
6. Соединяем вершины. Треугольники ΔAB₁C и ΔAB₂C являются искомыми.

Ответ: Алгоритм построения описан выше. В результате могут быть получены либо два треугольника, либо ни одного, в зависимости от соотношения длин данных отрезков.

Сколько решений может иметь задача?

Количество решений задачи зависит от соотношения между длиной основания a и радиусом описанной окружности R. Основание треугольника является хордой описанной окружности, поэтому его длина не может превышать диаметр окружности, то есть должно выполняться условие $a \le 2R$.

• Если $a > 2R$ (или $R < a/2$): основание длиннее диаметра окружности, что невозможно. При построении окружность с центром A и радиусом R не пересечет серединный перпендикуляр, так как кратчайшее расстояние от A до этого перпендикуляра равно $a/2$, что больше R. Решений нет.

• Если $a = 2R$ (или $R = a/2$): основание является диаметром. Существуют две вершины (по обе стороны от основания), образующие два равных друг другу равнобедренных прямоугольных треугольника. Задача имеет два решения.

• Если $a < 2R$ (или $R > a/2$): основание короче диаметра. Существуют две вершины, образующие два неравных равнобедренных треугольника: один остроугольный, другой тупоугольный. Их высоты, проведенные к основанию, равны $h_1 = R + \sqrt{R^2 - (a/2)^2}$ и $h_2 = R - \sqrt{R^2 - (a/2)^2}$. Задача имеет два решения.

Таким образом, число возможных решений — ноль или два.

Ответ: Задача может иметь 0 или 2 решения.

717. В треугольнике $ABC$ угол $ACB$ – прямой, $CH$ – высота данного треугольника, $CD$ – биссектриса треугольника $BCH$. Докажите, что $AC = AD$.