Номер 710, страница 175 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

§ 24. Метод геометрических мест точек в задачах на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 710, страница 175.

710. Постройте окружность данного радиуса, проходящую через данную точку, центр которой принадлежит данной прямой.

Пусть нам даны радиус $R$ (в виде отрезка), точка $A$ и прямая $l$. Задача состоит в том, чтобы построить окружность $\omega$ с радиусом $R$, которая проходит через точку $A$ и центр которой, обозначим его $O$, лежит на прямой $l$.

Анализ

Центр искомой окружности $O$ должен удовлетворять двум условиям:
1. Центр $O$ должен лежать на данной прямой $l$. Это означает, что $O$ принадлежит геометрическому месту точек, являющемуся прямой $l$.
2. Окружность проходит через точку $A$ и имеет радиус $R$. Это означает, что расстояние от центра $O$ до точки $A$ равно $R$, то есть $OA = R$. Геометрическое место точек, удаленных от точки $A$ на расстояние $R$, — это окружность с центром в точке $A$ и радиусом $R$.
Следовательно, искомый центр $O$ должен быть точкой пересечения прямой $l$ и окружности с центром в $A$ и радиусом $R$.

Построение

1. Возьмем циркуль и установим его раствор равным данному радиусу $R$.
2. Построим окружность (или дугу) с центром в данной точке $A$ и радиусом $R$.
3. Найдем точки пересечения этой окружности с данной прямой $l$. Обозначим эти точки $O_1$ и $O_2$ (если они существуют). Эти точки и будут центрами искомых окружностей.
4. Если точка пересечения $O_1$ существует, построим окружность с центром в точке $O_1$ и радиусом $R$.
5. Если существует вторая точка пересечения $O_2$, построим окружность с центром в $O_2$ и радиусом $R$.

Построенные окружности являются искомыми.

Доказательство

Рассмотрим окружность с центром в точке $O_1$ (если она существует) и радиусом $R$. По построению, ее центр $O_1$ лежит на прямой $l$. Ее радиус равен данному радиусу $R$. Так как точка $O_1$ лежит на окружности с центром $A$ и радиусом $R$, то расстояние $AO_1 = R$. Это означает, что окружность с центром $O_1$ и радиусом $R$ проходит через точку $A$. Таким образом, эта окружность удовлетворяет всем условиям задачи. Аналогичное доказательство справедливо и для окружности с центром в точке $O_2$.

Исследование

Количество решений задачи зависит от взаимного расположения точки $A$ и прямой $l$, а именно от расстояния от точки $A$ до прямой $l$, которое мы обозначим как $d$.

• Два решения: Если расстояние $d$ от точки $A$ до прямой $l$ меньше заданного радиуса $R$ ($d < R$), то окружность с центром в $A$ и радиусом $R$ пересечет прямую $l$ в двух точках. В этом случае задача имеет два решения (две окружности).
  
• Одно решение: Если расстояние $d$ от точки $A$ до прямой $l$ равно заданному радиусу $R$ ($d = R$), то окружность с центром в $A$ и радиусом $R$ будет касаться прямой $l$ в одной точке. В этом случае задача имеет одно решение.
  
• Нет решений: Если расстояние $d$ от точки $A$ до прямой $l$ больше заданного радиуса $R$ ($d > R$), то окружность с центром в $A$ и радиусом $R$ не будет иметь общих точек с прямой $l$. В этом случае задача не имеет решений.
  

Ответ: Для построения искомой окружности необходимо построить вспомогательную окружность с центром в данной точке $A$ и данным радиусом $R$. Точки пересечения этой вспомогательной окружности с данной прямой $l$ будут являться центрами искомых окружностей. В зависимости от расстояния от точки до прямой, задача может иметь два, одно или ни одного решения.

710. Высоты $BM$ и $CK$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$, $\angle ABC = 35^\circ$, $\angle ACB = 83^\circ$. Найдите $\angle BHC$.