Номер 711, страница 175 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

§ 24. Метод геометрических мест точек в задачах на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 711, страница 175.

711. Постройте окружность данного радиуса, проходящую через две данные точки.

Пусть даны две точки $A$ и $B$ и радиус $R$. Требуется построить окружность радиуса $R$, проходящую через точки $A$ и $B$.

Анализ

Центр искомой окружности, обозначим его $O$, должен находиться на одинаковом расстоянии, равном радиусу $R$, от обеих точек $A$ и $B$. То есть, должны выполняться равенства $OA = R$ и $OB = R$.

Геометрическое место точек, равноудаленных от точки $A$ на расстояние $R$, представляет собой окружность с центром в $A$ и радиусом $R$. Аналогично, все точки, удаленные от $B$ на расстояние $R$, лежат на окружности с центром в $B$ и радиусом $R$.

Следовательно, искомый центр $O$ является точкой пересечения этих двух окружностей. Таким образом, задача сводится к нахождению точек пересечения двух окружностей: $c_1(A, R)$ и $c_2(B, R)$.

Построение

1. Задаем раствор циркуля, равный длине данного радиуса $R$.
2. Из точки $A$ как из центра проводим окружность (или дугу) $c_1$ радиусом $R$.
3. Из точки $B$ как из центра тем же раствором циркуля проводим окружность (или дугу) $c_2$ радиусом $R$.
4. Точки пересечения окружностей $c_1$ и $c_2$ (если они есть) являются центрами искомых окружностей. Обозначим их $O_1$ и $O_2$.
5. Проводим окружность с центром в любой из найденных точек ($O_1$ или $O_2$) и радиусом $R$. По построению, эта окружность пройдет через точки $A$ и $B$.

Доказательство и исследование

Докажем, что построенная окружность верна. Пусть $O$ — точка пересечения построенных окружностей $c_1$ и $c_2$. Так как $O$ принадлежит $c_1$, то $OA = R$. Так как $O$ принадлежит $c_2$, то $OB = R$. Следовательно, окружность с центром в $O$ и радиусом $R$ проходит через обе точки $A$ и $B$.

Исследуем количество решений. Оно зависит от взаимного расположения окружностей $c_1$ и $c_2$, которое, в свою очередь, определяется соотношением между радиусом $R$ и расстоянием $d = AB$ между данными точками.

• Если $2R > d$ (то есть $R > d/2$), окружности пересекаются в двух точках. Задача имеет два решения.
• Если $2R = d$ (то есть $R = d/2$), окружности касаются в одной точке. Задача имеет одно решение. Центром окружности будет середина отрезка $AB$.
• Если $2R < d$ (то есть $R < d/2$), окружности не имеют общих точек. Задача не имеет решений.

Ответ: Для построения искомой окружности необходимо найти точки пересечения двух окружностей с данным радиусом $R$, центры которых находятся в данных точках $A$ и $B$. Задача может иметь два, одно или ни одного решения в зависимости от того, больше, равен или меньше данный радиус половины расстояния между данными точками.

711. Угол между высотой и биссектрисой прямоугольного треугольника, проведёнными из вершины его прямого угла, равен $12^\circ$. Найдите острые углы данного треугольника.