Номер 714, страница 175 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

§ 24. Метод геометрических мест точек в задачах на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 714, страница 175.

714. В треугольнике $ABC$ $\angle C = 90^\circ$. На катете $AC$ постройте точку $D$, удалённую от прямой $AB$ на расстояние $CD$.

Анализ

Пусть $D$ — искомая точка на катете $AC$ прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$). По условию задачи, расстояние от точки $D$ до прямой $AB$ равно длине отрезка $CD$.

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Опустим перпендикуляр $DH$ из точки $D$ на гипотенузу $AB$. Тогда условие задачи записывается как $DH = CD$.

Так как $\angle C = 90^\circ$, то катет $AC$ перпендикулярен катету $BC$. Поскольку точка $D$ лежит на $AC$, отрезок $CD$ является перпендикуляром из точки $D$ к прямой $BC$. Следовательно, длина $CD$ — это расстояние от точки $D$ до прямой $BC$.

Таким образом, условие $DH = CD$ равносильно тому, что точка $D$ равноудалена от прямых (сторон угла) $AB$ и $BC$.

Геометрическое место точек, равноудалённых от сторон угла, — это его биссектриса. Значит, точка $D$ должна лежать на биссектрисе угла $ABC$.

Поскольку точка $D$ также должна лежать на катете $AC$, она является точкой пересечения биссектрисы угла $ABC$ и катета $AC$.

Построение

1. Строим биссектрису угла $ABC$. Для этого проводим окружность с центром в точке $B$ произвольного радиуса. Пусть она пересекает стороны $BA$ и $BC$ в точках $M$ и $N$.

2. Из точек $M$ и $N$ проводим две дуги одинакового радиуса так, чтобы они пересеклись внутри угла в точке $K$.

3. Проводим луч $BK$. Этот луч является биссектрисой угла $ABC$.

4. Точка пересечения луча $BK$ с катетом $AC$ является искомой точкой $D$.

Доказательство

По построенному, точка $D$ принадлежит катету $AC$. Также по построению, точка $D$ лежит на биссектрисе угла $ABC$.

Согласно свойству биссектрисы угла, любая ее точка равноудалена от сторон этого угла. Следовательно, расстояние от точки $D$ до прямой $AB$ равно расстоянию от точки $D$ до прямой $BC$.

Расстояние от $D$ до $AB$ — это длина перпендикуляра $DH$, опущенного из $D$ на $AB$.

Расстояние от $D$ до $BC$ — это длина перпендикуляра, опущенного из $D$ на $BC$. Так как $D$ лежит на $AC$ и $AC \perp BC$, этим перпендикуляром является сам отрезок $CD$.

Таким образом, мы доказали, что $DH = CD$, что и требовалось. Построенная точка $D$ удовлетворяет условию задачи.

Ответ: Искомая точка $D$ — это точка пересечения биссектрисы угла $ABC$ и катета $AC$.

714. В треугольниках $\triangle ABC$ и $\triangle DEF$ известно, что $\angle A = \angle D$, $\angle B = \angle E$, высоты $BM$ и $EK$ равны. Докажите, что $\triangle ABC = \triangle DEF$.