Номер 707, страница 175 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

§ 24. Метод геометрических мест точек в задачах на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 707, страница 175.

707. Точки $B$ и $C$ принадлежат разным сторонам угла $A$, причём $AB \ne AC$. Постройте точку $M$, принадлежащую углу, равноудалённую от его сторон и такую, что $MB = MC$.

Для решения задачи используем метод геометрических мест точек (ГМТ). Искомая точка M должна удовлетворять двум условиям, из которых следуют её свойства.

Во-первых, точка M равноудалена от сторон угла A. Геометрическое место точек, обладающих этим свойством, — это биссектриса угла A. Таким образом, точка M лежит на биссектрисе угла A.

Во-вторых, расстояния от точки M до точек B и C равны, то есть $MB = MC$. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек (B и C), — это серединный перпендикуляр к отрезку BC. Таким образом, точка M лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC.

Следовательно, чтобы найти точку M, необходимо построить биссектрису угла A и серединный перпендикуляр к отрезку BC. Искомая точка будет находиться на их пересечении.

Алгоритм построения:

1. Построить биссектрису угла A.
2. Соединить точки B и C отрезком.
3. Построить серединный перпендикуляр к отрезку BC.
4. Точка пересечения построенных биссектрисы и серединного перпендикуляра является искомой точкой M.

Данная задача всегда имеет единственное решение. Биссектриса угла A (являющаяся лучом) и серединный перпендикуляр к BC (являющийся прямой) пересекаются ровно в одной точке. Они не могут быть параллельны, так как в этом случае биссектриса была бы перпендикулярна отрезку BC. Это означало бы, что треугольник ABC — равнобедренный с $AB = AC$, что противоречит условию задачи.

Ответ: Искомая точка M — это точка пересечения биссектрисы угла A и серединного перпендикуляра к отрезку BC.

707. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен $42^\circ$. Найдите меньший из углов, образованных биссектрисой прямого угла и гипотенузой.