Номер 702, страница 172 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 23. Задачи на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 702, страница 172.

702. Внешний угол треугольника больше одного из углов треугольника, не смежного с ним:

1) на $60^{\circ}$, а другого – на $40^{\circ}$;

2) на $25^{\circ}$, а другого – на $35^{\circ}$.

Определите вид треугольника.

1) Пусть внутренние углы треугольника равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. По свойству внешнего угла треугольника, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Пусть $\delta$ — внешний угол при вершине с углом $\gamma$. Тогда $\delta = \alpha + \beta$.
По условию задачи, внешний угол больше одного из не смежных с ним углов (например, $\alpha$) на $60^{\circ}$, а другого (угла $\beta$) — на $40^{\circ}$. Это можно записать в виде системы уравнений:
$\delta = \alpha + 60^{\circ}$
$\delta = \beta + 40^{\circ}$
Так как $\delta = \alpha + \beta$, подставим это выражение в каждое из уравнений:
$\alpha + \beta = \alpha + 60^{\circ}$
$\alpha + \beta = \beta + 40^{\circ}$
Из первого уравнения находим угол $\beta$:
$\beta = 60^{\circ}$
Из второго уравнения находим угол $\alpha$:
$\alpha = 40^{\circ}$
Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$. Найдем третий угол $\gamma$:
$\gamma = 180^{\circ} - (\alpha + \beta) = 180^{\circ} - (40^{\circ} + 60^{\circ}) = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}$
Углы треугольника равны $40^{\circ}$, $60^{\circ}$ и $80^{\circ}$. Все углы острые (меньше $90^{\circ}$), следовательно, треугольник является остроугольным.
Ответ: остроугольный.

2) Действуем аналогично первому пункту. Пусть внутренние углы равны $\alpha$ и $\beta$, а $\delta$ — внешний угол, не смежный с ними. Тогда $\delta = \alpha + \beta$.
По условию:
$\delta = \alpha + 25^{\circ}$
$\delta = \beta + 35^{\circ}$
Подставляя $\delta = \alpha + \beta$, получаем систему:
$\alpha + \beta = \alpha + 25^{\circ}$
$\alpha + \beta = \beta + 35^{\circ}$
Из первого уравнения находим угол $\beta$:
$\beta = 25^{\circ}$
Из второго уравнения находим угол $\alpha$:
$\alpha = 35^{\circ}$
Найдем третий угол $\gamma$:
$\gamma = 180^{\circ} - (\alpha + \beta) = 180^{\circ} - (35^{\circ} + 25^{\circ}) = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$
Углы треугольника равны $25^{\circ}$, $35^{\circ}$ и $120^{\circ}$. Так как один из углов ($120^{\circ}$) больше $90^{\circ}$, треугольник является тупоугольным.
Ответ: тупоугольный.

702. На продолжениях стороны $AC$ треугольника $ABC$ за точки $A$ и $C$ отметили соответственно точки $M$ и $K$ так, что $AM = AB$, $CK = BC$.

Найдите углы треугольника $MBK$, если $\angle BAC = 60^\circ$, $\angle ACB = 80^\circ$.