Номер 698, страница 171 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 23. Задачи на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 698, страница 171.

698. Как разделить на три равные части угол, равный $54^\circ$?

Задача о трисекции (делении на три равные части) произвольного угла с помощью циркуля и немаркированной линейки в общем случае неразрешима. Однако для некоторых конкретных углов, таких как $54^\circ$, такое построение возможно.

Чтобы разделить угол в $54^\circ$ на три равные части, необходимо построить два луча, которые разделят его на три угла по $54^\circ / 3 = 18^\circ$. Это выполнимо, поскольку угол в $18^\circ$ является построимым с помощью циркуля и линейки. Представим подробный алгоритм построения.

Идея построения заключается в том, чтобы, используя данный угол $54^\circ$, сначала построить угол в $36^\circ$, а затем, разделив его пополам, получить искомый угол в $18^\circ$.

Пошаговый алгоритм построения

Пусть нам дан угол $\angle AOB = 54^\circ$.

1. На одном из лучей угла, например на луче $OB$, выберем произвольную точку $P$.
2. Из точки $P$ построим перпендикуляр к другому лучу $OA$. Для этого можно использовать стандартное построение перпендикуляра из точки на прямую. Обозначим основание перпендикуляра на луче $OA$ как точку $H$.
3. В результате мы получили прямоугольный треугольник $\triangle OPH$, в котором $\angle PHO = 90^\circ$ и $\angle POH = \angle AOB = 54^\circ$.
4. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому мы можем найти третий угол $\angle OPH$:
   $\angle OPH = 180^\circ - \angle PHO - \angle POH = 180^\circ - 90^\circ - 54^\circ = 36^\circ$.
5. Теперь у нас есть угол $\angle OPH$, равный $36^\circ$. Построим его биссектрису. Биссектриса делит угол пополам, поэтому мы получим два угла по $36^\circ / 2 = 18^\circ$.
6. Мы получили угол в $18^\circ$. Теперь необходимо "скопировать" этот угол к вершине $O$ нашего исходного угла. Построим луч $OC$ внутри угла $\angle AOB$ так, чтобы $\angle AOC = 18^\circ$. Для этого используется стандартная процедура копирования угла с помощью циркуля и линейки.
7. Аналогично, построим еще один луч $OD$ внутри угла $\angle AOB$ так, чтобы $\angle COD = 18^\circ$.
8. В результате лучи $OC$ и $OD$ разделят исходный угол $\angle AOB$ на три равные части, так как $\angle AOC = \angle COD = 18^\circ$, а оставшийся угол $\angle DOB$ будет равен $54^\circ - 18^\circ - 18^\circ = 18^\circ$.

Таким образом, задача решена.

Ответ: Описанный выше пошаговый алгоритм, основанный на построении прямоугольного треугольника со стороной на луче угла и последующем нахождении и делении пополам угла в $36^\circ$, позволяет разделить угол $54^\circ$ на три равные части по $18^\circ$ с помощью циркуля и линейки.

698. На продолжении боковых сторон $AC$ и $BC$ равнобедренного треугольника $ABC$ за вершину $C$ отметили точки $E$ и $D$ соответственно так, что $DE \parallel AB$. Докажите, что $\triangle CDE$ – равнобедренный.