Номер 691, страница 171 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 23. Задачи на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 691, страница 171.

691. Постройте треугольник по углу и высотам, проведённым из вершин двух других углов.

Задача состоит в построении треугольника по заданному углу и двум высотам, проведенным из вершин двух других углов. Пусть дан угол $\alpha$ и длины высот $h_b$ и $h_c$. Требуется построить треугольник $ABC$ с $\angle A = \alpha$, высотой из вершины $B$ равной $h_b$, и высотой из вершины $C$ равной $h_c$.

Анализ

Пусть искомый треугольник $ABC$ построен. Угол при вершине $A$ равен $\alpha$. Высота $BB'$, опущенная из вершины $B$ на прямую $AC$, равна $h_b$. Высота $CC'$, опущенная из вершины $C$ на прямую $AB$, равна $h_c$.

Из прямоугольного треугольника $ACC'$ имеем $AC = \frac{CC'}{\sin A} = \frac{h_c}{\sin \alpha}$. Аналогично, из прямоугольного треугольника $ABB'$ имеем $AB = \frac{BB'}{\sin A} = \frac{h_b}{\sin \alpha}$. Таким образом, задача сводится к построению треугольника по двум сторонам ($AB$ и $AC$) и углу между ними ($\alpha$).

Однако, более прямым методом построения является использование геометрического места точек (ГМТ). Вершина $C$ должна лежать на одной из сторон угла $A$ (например, на луче $AC$) и одновременно находиться на расстоянии $h_c$ от другой стороны угла (прямой $AB$). ГМТ, равноудаленных от прямой, является пара параллельных прямых. Аналогично, вершина $B$ должна лежать на луче $AB$ и находиться на расстоянии $h_b$ от прямой $AC$. Это наблюдение лежит в основе следующего построения.

Построение

1. Построим угол с вершиной в точке $A$, равный данному углу $\alpha$. Обозначим его стороны (лучи) как $l_1$ и $l_2$. На этих лучах будут располагаться стороны $AB$ и $AC$ треугольника.
2. Построим прямую $m_c$, параллельную лучу $l_1$ и отстоящую от него на расстояние $h_c$. Для этого в произвольной точке на $l_1$ восстановим перпендикуляр, отложим на нем отрезок длиной $h_c$ и через его конец проведем прямую, параллельную $l_1$.
3. Точка пересечения прямой $m_c$ и луча $l_2$ будет вершиной $C$ искомого треугольника.
4. Аналогично построим прямую $m_b$, параллельную лучу $l_2$ и отстоящую от него на расстояние $h_b$.
5. Точка пересечения прямой $m_b$ и луча $l_1$ будет вершиной $B$ искомого треугольника.
6. Соединим точки $B$ и $C$ отрезком. Треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ угол $\angle BAC$ равен данному углу $\alpha$ по построению. Вершина $C$ лежит на луче $l_2$ (который содержит сторону $AC$), а ее расстояние до прямой, содержащей луч $l_1$ (сторону $AB$), равно расстоянию между параллельными прямыми $l_1$ и $m_c$, которое по построению равно $h_c$. Следовательно, высота, проведенная из вершины $C$ на сторону $AB$, равна $h_c$. Аналогично, вершина $B$ лежит на луче $l_1$ (содержит сторону $AB$), а ее расстояние до прямой, содержащей луч $l_2$ (сторону $AC$), по построению равно $h_b$. Следовательно, высота, проведенная из вершины $B$ на сторону $AC$, равна $h_b$. Таким образом, треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Задача имеет решение, если указанные в построении пересечения существуют. Прямая $m_c$, будучи параллельной $l_1$, пересечет прямую $l_2$, так как $l_1$ и $l_2$ непараллельны (они образуют угол $\alpha$, где $0^\circ < \alpha < 180^\circ$). Аналогично, $m_b$ пересечет $l_1$. Таким образом, при $h_b > 0$, $h_c > 0$ и $0^\circ < \alpha < 180^\circ$ задача всегда имеет решение. При построении можно выбрать, по какую сторону от лучей $l_1$ и $l_2$ проводить параллельные прямые $m_c$ и $m_b$. Это дает четыре возможных треугольника, но все они будут конгруэнтны друг другу. Следовательно, задача имеет единственное решение с точностью до конгруэнтности.

Ответ: Искомый треугольник строится по приведенному алгоритму. Построение однозначно определяет треугольник с точностью до конгруэнтности при условии, что заданный угол больше $0^\circ$ и меньше $180^\circ$, а длины высот — положительные числа.

691. На рисунке 343 $AM = CN$, $AB = CD$, $BN = DM$. Докажите, что $\angle ABN = \angle CDM$.

Рис. 343