Номер 686, страница 171 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 23. Задачи на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 686, страница 171.

686. Постройте треугольник по стороне и проведённым из одного и того же конца этой стороны медиане и высоте. Сколько решений может иметь задача?

Пусть нам даны три отрезка, задающие сторону треугольника $b$, медиану $m_a$ и высоту $h_a$, причем медиана и высота проведены из одного и того же конца данной стороны. Требуется построить треугольник $ABC$, в котором сторона $AC = b$, медиана $AM = m_a$ (где $M$ — середина стороны $BC$) и высота $AH = h_a$ (где $H$ — основание высоты на прямой $BC$).

Построение

В основе построения лежит прямоугольный треугольник $AHM$. В этом треугольнике $\angle AHM = 90^\circ$, так как $AH$ — высота к прямой $BC$, на которой лежат точки $H$ и $M$. Катет $AH$ равен данной высоте $h_a$, а гипотенуза $AM$ равна данной медиане $m_a$.

Алгоритм построения:

1. Построим прямоугольный треугольник $AHM$ по известным гипотенузе $AM = m_a$ и катету $AH = h_a$. Для этого:
   1. Проведем произвольную прямую $l$. На ней будет лежать сторона $BC$ искомого треугольника.
   2. Выберем на прямой $l$ произвольную точку $H$.
   3. Через точку $H$ проведем прямую $p$, перпендикулярную прямой $l$.
   4. На прямой $p$ от точки $H$ отложим отрезок $HA$ длиной, равной $h_a$. Мы получили вершину $A$.
   5. Из центра в точке $A$ проведем дугу окружности радиусом $m_a$. Точка пересечения этой дуги с прямой $l$ даст нам точку $M$. Для существования такой точки необходимо, чтобы $m_a \ge h_a$. Если $m_a > h_a$, дуга пересечет прямую $l$ в двух точках, симметричных относительно $H$. Выбор любой из них приведет к построению конгруэнтных треугольников, поэтому мы можем выбрать любую из них.
2. Теперь, когда у нас есть вершина $A$, прямая $l$ (на которой лежат $B$ и $C$) и точка $M$ (середина $BC$), мы можем найти вершины $B$ и $C$.
   1. Вершина $C$ лежит на прямой $l$ и удалена от вершины $A$ на расстояние $b$. Чтобы найти $C$, проведем окружность с центром в точке $A$ и радиусом $b$. Точки пересечения этой окружности с прямой $l$ являются возможными положениями вершины $C$. Для существования таких точек необходимо, чтобы $b \ge h_a$.
   2. После того как положение точки $C$ на прямой $l$ найдено, находим вершину $B$. Так как $M$ — середина отрезка $BC$, точка $B$ симметрична точке $C$ относительно точки $M$. Чтобы построить $B$, нужно на прямой $l$ отложить от точки $M$ отрезок $MB$, равный $MC$, в сторону, противоположную точке $C$.
3. Соединив точки $A, B$ и $C$, получаем искомый треугольник $ABC$.

Ответ: Искомый треугольник строится по приведенному выше алгоритму, ключевым элементом которого является построение вспомогательного прямоугольного треугольника $AHM$.

Сколько решений может иметь задача?

Количество решений зависит от соотношения длин данных отрезков $b$, $m_a$ и $h_a$.

Во-первых, для возможности построения должны выполняться условия, вытекающие из геометрии прямоугольных треугольников $AHM$ и $AHC$: гипотенуза не может быть короче катета. Отсюда получаем необходимые условия: $m_a \ge h_a$ и $b \ge h_a$. Если хотя бы одно из них не выполнено, задача решений не имеет.

Рассмотрим случаи, когда $m_a \ge h_a$ и $b \ge h_a$:

• Два решения. Задача имеет два неконгруэнтных решения в общем случае, когда выполняются строгие неравенства $m_a > h_a$, $b > h_a$ и, кроме того, $m_a \neq b$. При этих условиях окружность с центром $A$ и радиусом $b$ пересекает прямую $l$ в двух различных точках $C_1$ и $C_2$. Каждая из этих точек порождает свой треугольник ($AB_1C_1$ и $AB_2C_2$), и эти треугольники не являются конгруэнтными.
• Одно решение. Задача имеет единственное решение в трех особых случаях:
  1. Когда медиана является высотой: $m_a = h_a$ (при условии $b > h_a$). В этом случае $M$ совпадает с $H$, и искомый треугольник $ABC$ является равнобедренным с $AB=AC=b$. Хотя окружность $(A, b)$ дает две точки, $C_1$ и $C_2$, они симметричны относительно $H=M$, и оба варианта приводят к одному и тому же треугольнику.
  2. Когда данная сторона является высотой к основанию: $b = h_a$ (при условии $m_a > h_a$). В этом случае $C$ совпадает с $H$, то есть $\angle C = 90^\circ$. Окружность $(A, b)$ касается прямой $l$ в единственной точке, что и дает единственное решение.
  3. Когда длина медианы равна длине данной стороны: $m_a = b$ (при условии $m_a > h_a$). В этом случае точка $M$ совпадает с одной из двух возможных точек для $C$. Этот выбор приводит к вырожденному треугольнику ($B$ совпадает с $C$). Другой выбор точки $C$ дает единственное невырожденное решение.
• Нет решений. Задача не имеет решений (в классе невырожденных треугольников) в следующих случаях:
  1. Если $m_a < h_a$ или $b < h_a$, так как построение геометрически невозможно.
  2. Если $m_a = h_a$ и $b = h_a$ одновременно. В этом случае точки $M$, $H$ и $C$ совпадают, что приводит к вырождению отрезка $BC$ в точку, и треугольник не образуется.

Ответ: Задача может иметь 0, 1 или 2 решения.

• 2 решения, если $m_a > h_a$, $b > h_a$ и $m_a \neq b$.
• 1 решение, если ($m_a = h_a$ и $b > h_a$) или ($b = h_a$ и $m_a > h_a$) или ($m_a = b$ и $m_a > h_a$).
• 0 решений, если $m_a < h_a$ или $b < h_a$ или ($m_a = b = h_a$).

Рис. 342

686. На рисунке 342 $OA = OC$, $OD = OB$. Докажите, что $\angle DAC = \angle BCA$.