Номер 682, страница 170 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 23. Задачи на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 682, страница 170.

682. Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и биссектрисе треугольника, проведённой из вершины этого угла.

Для построения треугольника по стороне, прилежащему к ней углу и биссектрисе, проведённой из вершины этого угла, выполним следующие шаги, основанные на анализе задачи.

Анализ

Пусть искомый треугольник $ABC$ построен. Нам известны сторона $BC$, угол $\angle ABC = \beta$ и длина биссектрисы $BD = l_b$, где $D$ — точка на стороне $AC$.

Мы можем построить угол $\angle ABC$, равный $\beta$, и отложить на одной из его сторон отрезок $BC$, равный данной стороне $a$. Вершина $A$ будет лежать на второй стороне этого угла.

Биссектриса $BD$ делит угол $\angle ABC$ на два равных угла: $\angle ABD = \angle DBC = \beta / 2$. Мы можем построить луч $BD$, который является биссектрисой угла $\angle ABC$.

Точка $D$ лежит на этом луче на расстоянии $l_b$ от вершины $B$. Таким образом, мы можем однозначно определить положение точки $D$.

Поскольку $D$ — это точка пересечения биссектрисы со стороной $AC$, то точки $A$, $D$, $C$ лежат на одной прямой. Зная положение точек $C$ и $D$, мы можем провести через них прямую. Точка пересечения этой прямой со второй стороной угла $\angle ABC$ и будет искомой вершиной $A$.

На основе этого анализа составим план построения.

Построение

1. Построим угол, равный данному углу $\beta$. Обозначим его вершину буквой $B$.
2. На одной из сторон этого угла отложим от вершины $B$ отрезок $BC$, равный данной стороне.
3. Построим биссектрису угла $\angle ABC$. Пусть это будет луч $BM$.
4. На луче $BM$ отложим от вершины $B$ отрезок $BD$, равный данной длине биссектрисы $l_b$.
5. Проведём прямую через точки $C$ и $D$.
6. Точка пересечения прямой $CD$ со второй стороной исходного угла (лучом, на котором не лежит точка $C$) будет искомой вершиной $A$.
7. Соединим точки $A$, $B$ и $C$. Полученный треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ сторона $BC$ имеет заданную длину по построению (шаг 2). Угол $\angle ABC$ равен заданному углу $\beta$ по построению (шаг 1). Отрезок $BD$ соединяет вершину $B$ с точкой $D$ на противоположной стороне $AC$. Так как точка $D$ лежит на биссектрисе угла $\angle ABC$ (по шагу 3), то $BD$ является биссектрисой этого угла. Длина $BD$ равна заданной длине $l_b$ по построению (шаг 4). Таким образом, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Задача имеет единственное решение, если прямая $CD$ пересекает второй луч угла в одной точке. Если прямая $CD$ окажется параллельной этому лучу, решения не существует.

Ответ: Построение выполнено в соответствии с приведённым выше планом. Треугольник $ABC$ построен.

682. Из точек $A$ и $B$, лежащих в одной полуплоскости относительно прямой $m$, опущены на эту прямую перпендикуляры $AC$ и $BD$ соответственно. Точки $A$ и $B$ равноудалены от прямой $m$, точка $O$ – середина отрезка $CD$. Докажите, что $\triangle AOB$ – равнобедренный.