Номер 680, страница 170 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 23. Задачи на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 680, страница 170.

680. Постройте прямоугольный треугольник:

1) по катету и медиане, проведённой к другому катету;

2) по острому углу и высоте, проведённой из вершины прямого угла.

1) по катету и медиане, проведённой к другому катету;

Пусть даны два отрезка: $c_1$ — длина катета, и $m$ — длина медианы, проведенной к другому катету. Необходимо построить прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$, в котором один катет, например $AC$, равен $c_1$, а медиана $AM$ к другому катету $BC$ равна $m$.

Анализ. Рассмотрим искомый треугольник $ABC$ и вспомогательный треугольник $ACM$, где $M$ — середина катета $BC$. Треугольник $ACM$ является прямоугольным, так как $\angle C = 90^\circ$. В этом треугольнике нам известны длины катета $AC = c_1$ и гипотенузы $AM = m$. Таким образом, задача сводится к построению прямоугольного треугольника $ACM$ по катету и гипотенузе. После его построения, мы можем найти вершину $B$, так как $M$ — середина $BC$, следовательно, точка $B$ лежит на луче $CM$ и $CB = 2 \cdot CM$.

Построение:
1. Строим прямой угол с вершиной в точке $C$. Обозначим его стороны (лучи) как $p$ и $q$.
2. На луче $p$ от точки $C$ откладываем отрезок $CA$, равный данному катету $c_1$.
3. Из точки $A$ как из центра проводим дугу окружности радиусом, равным данной медиане $m$.
4. Эта дуга пересечет луч $q$ в точке $M$. Для существования решения необходимо, чтобы $m > c_1$.
5. На луче $CM$ откладываем отрезок $MB$, равный отрезку $CM$.
6. Соединяем точки $A$ и $B$. Треугольник $ABC$ построен.

Доказательство. В построенном треугольнике $ABC$ угол $\angle C = 90^\circ$ по построению. Катет $AC$ равен $c_1$ по построению. Так как точка $M$ является серединой отрезка $BC$ ($CM = MB$ по построению), то отрезок $AM$ является медианой к катету $BC$. Длина этой медианы $AM$ равна $m$ по построению. Следовательно, $\triangle ABC$ — искомый.

Ответ: Треугольник построен согласно приведенному алгоритму. Построение основано на построении вспомогательного прямоугольного треугольника по известному катету и гипотенузе, с последующим удвоением второго катета этого вспомогательного треугольника для нахождения третьей вершины искомого треугольника.

2) по острому углу и высоте, проведённой из вершины прямого угла.

Пусть дан острый угол $\alpha$ и отрезок $h$, равный высоте, проведенной из вершины прямого угла. Требуется построить прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$, один из острых углов (например, $\angle A$) равен $\alpha$, а высота $CH$, проведенная к гипотенузе $AB$, равна $h$.

Анализ. Рассмотрим вспомогательный прямоугольный треугольник $ACH$. В нем $\angle AHC = 90^\circ$, катет $CH = h$, а острый угол $\angle CAH$ (совпадающий с $\angle A$) равен $\alpha$. Этот треугольник можно построить по катету и противолежащему острому углу. После его построения мы будем знать положение вершин $A$ и $C$. Вершина $B$ искомого треугольника лежит на прямой $AH$. Так как $\angle ACB = 90^\circ$, то прямая $BC$ должна быть перпендикулярна прямой $AC$. Это позволяет найти положение вершины $B$.

Построение:
1. Проводим произвольную прямую $k$ и выбираем на ней точку $A$.
2. От луча $Ak$ откладываем угол, равный данному углу $\alpha$. Построим луч $m$.
3. Строим прямую $p$, параллельную прямой $k$ и находящуюся на расстоянии $h$ от нее (с той же стороны от $k$, что и луч $m$).
4. Точку пересечения луча $m$ и прямой $p$ обозначаем $C$.
5. В точке $C$ проводим прямую, перпендикулярную отрезку $AC$.
6. Точку пересечения этой перпендикулярной прямой с исходной прямой $k$ обозначаем $B$.
7. Соединяем точки $A$, $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ построен.

Доказательство. В построенном треугольнике $ABC$: $\angle A = \alpha$ по построению. Угол $\angle ACB = 90^\circ$, так как $BC \perp AC$ по построению. Отрезок $CH$ (перпендикуляр от $C$ к прямой $k$) является высотой к гипотенузе $AB$. Его длина равна расстоянию между параллельными прямыми $k$ и $p$, то есть $h$. Следовательно, $\triangle ABC$ — искомый.

Ответ: Треугольник построен согласно приведенному алгоритму. Построение основано на построении вспомогательного прямоугольного треугольника по катету (данной высоте) и противолежащему острому углу, с последующим построением перпендикуляра к гипотенузе вспомогательного треугольника для нахождения третьей вершины искомого треугольника.

680. В треугольниках $ABC$ и $DEF$ $AC = DF$, $BC = EF$, $\angle C = \angle F$. Биссектрисы углов $BAC$ и $ABC$ пересекаются в точке $O$, а биссектрисы углов $DEF$ и $EDF$ – в точке $M$. Докажите, что $\triangle AOB = \triangle DME$.