Номер 685, страница 171 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 23. Задачи на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 685, страница 171.

685. Постройте треугольник по двум сторонам и высоте, проведённой к одной из этих сторон. Сколько решений может иметь задача?

Пусть даны длины двух сторон $a$ и $b$, и длина высоты $h_a$, проведённой к стороне $a$. Необходимо построить треугольник $ABC$, в котором сторона, к которой проведена высота (назовём её $BC$), имеет длину $a$, другая известная сторона (назовём её $AC$) имеет длину $b$, а высота, опущенная из вершины $A$ на прямую $BC$, равна $h_a$.

Построение

1. Проводим произвольную прямую $l$, на которой будет лежать сторона $a$.
2. Выбираем на ней произвольную точку $H$ и строим через неё прямую $p$, перпендикулярную прямой $l$.
3. На прямой $p$ от точки $H$ откладываем отрезок $AH$, равный данной высоте $h_a$. Точка $A$ — одна из вершин искомого треугольника.
4. С центром в точке $A$ проводим окружность радиусом, равным длине стороны $b$.
5. Если эта окружность пересекает прямую $l$, обозначаем одну из точек пересечения как $C$. Точка $C$ — вторая вершина треугольника. (Для существования пересечения необходимо, чтобы $b \ge h_a$).
6. С центром в точке $C$ проводим окружность радиусом, равным длине стороны $a$.
7. Эта окружность пересечёт прямую $l$ в двух точках. Обозначим их $B_1$ и $B_2$.
8. Треугольники $\triangle AB_1C$ и $\triangle AB_2C$ являются искомыми.

Анализ количества решений

Количество решений задачи (различных, то есть неконгруэнтных, треугольников) зависит от соотношения между данными длинами $b$ и $h_a$. Для построения треугольника необходимо сначала построить вспомогательный прямоугольный треугольник с гипотенузой $b$ (сторона $AC$) и катетом $h_a$ (высота $AH$). Это возможно только при условии $b \ge h_a$.

• Случай 1: $b < h_a$.

  Построение невозможно. Сторона $b$, являющаяся наклонной от вершины $A$ к прямой $l$, не может быть короче перпендикуляра $h_a$. Окружность с центром в $A$ и радиусом $b$ не пересечёт прямую $l$. Следовательно, задача не имеет решений.

• Случай 2: $b = h_a$.

  В этом случае наклонная $b$ равна перпендикуляру $h_a$, что возможно только если точка $C$ совпадает с основанием высоты $H$. Таким образом, $\triangle AHC$ вырождается, а $\angle C$ становится прямым. Построение даёт единственную точку $C$. Окружность с центром в $C$ и радиусом $a$ даёт две точки $B_1$ и $B_2$ на прямой $l$. Полученные треугольники $\triangle AB_1C$ и $\triangle AB_2C$ являются прямоугольными и конгруэнтными друг другу (они симметричны относительно катета $AC$). Таким образом, задача имеет одно решение.

• Случай 3: $b > h_a$.

  Окружность с центром в $A$ и радиусом $b$ пересекает прямую $l$ в двух точках, $C_1$ и $C_2$, симметричных относительно $H$. Рассмотрим построение для точки $C_1$. Окружность с центром $C_1$ и радиусом $a$ пересекает прямую $l$ в двух точках $B_1$ и $B_2$. Это даёт два треугольника: $\triangle AB_1C_1$ и $\triangle AB_2C_1$. У этих треугольников две стороны соответственно равны ($AC_1=b$, $C_1B_1=a$ и $C_1B_2=a$), но их третьи стороны ($AB_1$ и $AB_2$) не равны, так как $b \neq h_a$. Следовательно, эти два треугольника не конгруэнтны. Построение, начатое с точки $C_2$, даст треугольники, конгруэнтные уже построенным. Таким образом, задача имеет два решения.

Ответ: Задача может иметь 0, 1 или 2 решения. Пусть даны стороны $a, b$ и высота $h_a$ к стороне $a$.
Если $b < h_a$, то решений нет.
Если $b = h_a$, то задача имеет одно решение.
Если $b > h_a$, то задача имеет два решения.

685. На рисунке 341 $AB = BC$, $\angle ABO = \angle CBO$. Докажите, что $\angle DAO = \angle DCO$.

Рис. 339

Рис. 340

Рис. 341