Номер 690, страница 171 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 23. Задачи на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 690, страница 171.

690. Постройте треугольник по стороне, прилежащему углу и медиане, про-веденной к данной стороне. Сколько решений может иметь задача?

Пусть нам даны отрезок, равный стороне треугольника $a$, угол $\alpha$ и отрезок, равный медиане $m$, проведенной к данной стороне. Требуется построить треугольник $ABC$ со стороной $BC = a$, углом $\angle B = \alpha$ и медианой $AM = m$ (где $M$ — середина стороны $BC$).

Построение

Построение искомого треугольника сводится к построению треугольника $ABM$ по двум сторонам ($AM=m$, $BM = a/2$) и углу, противолежащему одной из них ($\angle B = \alpha$).

1. Построить отрезок $BC$ длиной $a$.
2. Найти середину отрезка $BC$ — точку $M$. Это можно сделать, построив серединный перпендикуляр к $BC$. Длина отрезка $BM$ будет равна $a/2$.
3. От луча $BC$ отложить угол, равный данному углу $\alpha$, с вершиной в точке $B$. Получим луч $l$, на котором должна лежать вершина $A$.
4. Построить окружность с центром в точке $M$ и радиусом, равным длине медианы $m$.
5. Вершина $A$ является точкой пересечения луча $l$ и построенной окружности.
6. Соединить точки $A, B, C$. Полученный треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство: В построенном треугольнике $ABC$ сторона $BC=a$ и $\angle B = \alpha$ по построению. Так как $M$ — середина $BC$, то $AM$ — медиана. Длина $AM$ равна $m$, поскольку точка $A$ лежит на окружности с центром $M$ и радиусом $m$. Следовательно, треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям.

Ответ: Построение основано на нахождении третьей вершины треугольника как точки пересечения луча (задающего угол при данной стороне) и окружности (задающей длину медианы из середины этой стороны).

Сколько решений может иметь задача?

Количество решений задачи зависит от числа точек пересечения луча $l$ и окружности с центром $M$ и радиусом $m$. Проанализируем это, рассмотрев треугольник $ABM$. В нем известны стороны $AM=m$, $BM=a/2$ и угол $\angle B = \alpha$. Это задача на построение треугольника по двум сторонам и углу, противолежащему одной из них (случай ССУ).

Пусть $h$ — расстояние от центра окружности $M$ до прямой, содержащей луч $l$. В прямоугольном треугольнике $h = BM \cdot \sin(\angle B) = \frac{a}{2}\sin\alpha$.

• Случай 1: $m < \frac{a}{2}\sin\alpha$
  Длина медианы меньше расстояния от точки $M$ до прямой, на которой лежит искомая вершина $A$. Окружность и луч не пересекаются.
  Ответ: 0 решений.
• Случай 2: $m = \frac{a}{2}\sin\alpha$
  Окружность касается прямой, содержащей луч $l$.
  • Если угол $\alpha$ острый ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$), точка касания лежит на луче $l$.
    Ответ: 1 решение.
  • Если угол $\alpha$ прямой или тупой ($\alpha \ge 90^\circ$), то треугольник $ABM$ должен иметь два прямых или тупых угла (один при вершине B, другой — при A, так как $AM \perp BA$), что невозможно.
    Ответ: 0 решений.
• Случай 3: $m > \frac{a}{2}\sin\alpha$
  Окружность пересекает прямую, содержащую луч $l$, в двух точках. Нужно выяснить, сколько из них лежат на самом луче $l$.
  • Если угол $\alpha$ прямой или тупой ($\alpha \ge 90^\circ$): В треугольнике $ABM$ против тупого или прямого угла $\alpha$ должна лежать наибольшая сторона.
    • Если $m > a/2$, то сторона $AM$ больше стороны $BM$, что возможно. Одна из точек пересечения лежит на луче $l$.
      Ответ: 1 решение.
    • Если $m \le a/2$, то сторона $AM$ не больше стороны $BM$, что невозможно для треугольника с тупым или прямым углом $B$.
      Ответ: 0 решений.
  • Если угол $\alpha$ острый ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$): Это неоднозначный случай построения треугольника. Сравниваем $m$ и $a/2$.
    • Если $m > a/2$, одна точка пересечения лежит на луче $l$, а другая — на его продолжении за точку $B$.
      Ответ: 1 решение.
    • Если $m = a/2$, одна точка пересечения совпадает с $B$ (вырожденное решение), а вторая дает невырожденный треугольник.
      Ответ: 1 решение.
    • Если $\frac{a}{2}\sin\alpha < m < a/2$, обе точки пересечения лежат на луче $l$.
      Ответ: 2 решения.

Таким образом, задача может иметь 0, 1 или 2 решения.

Ответ: Задача может иметь 0, 1 или 2 решения в зависимости от соотношения между длиной стороны $a$, медианы $m$ и величиной прилежащего угла $\alpha$.

690. На сторонах $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ отметили точки $F$ и $K$ соответственно. Докажите, что если треугольники $AFB$ и $AKB$ равны и стороны $AK$ и $BF$ соответственные, то треугольник $ABC$ – равнобедренный.