Номер 696, страница 171 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 23. Задачи на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 696, страница 171.

696. Постройте треугольник по стороне и проведённым к этой стороне высоте и медиане.

Пусть даны отрезки, задающие длину стороны $a$, длину высоты $h_a$ и длину медианы $m_a$, проведенных к этой стороне. Требуется построить треугольник $ABC$, в котором сторона $BC$ имеет длину $a$, высота $AH$, опущенная на прямую $BC$, имеет длину $h_a$, а медиана $AM$ к стороне $BC$ имеет длину $m_a$.

Для построения используется метод геометрических мест. Вершина $A$ искомого треугольника должна одновременно принадлежать двум множествам точек:

• Множеству точек, удаленных от прямой $BC$ на расстояние $h_a$. Это две прямые, параллельные прямой $BC$.
• Множеству точек, удаленных от точки $M$ (середины отрезка $BC$) на расстояние $m_a$. Это окружность с центром в $M$ и радиусом $m_a$.

Искомая вершина $A$ является точкой пересечения этих геометрических мест.

Построение

1. На произвольной прямой $l$ откладываем отрезок $BC$, длина которого равна данной стороне $a$.
2. С помощью циркуля и линейки строим серединный перпендикуляр к отрезку $BC$ и находим его середину — точку $M$.
3. Строим прямую $p$, параллельную прямой $l$ и находящуюся на расстоянии $h_a$ от нее. Для этого можно в точке $M$ восстановить перпендикуляр к прямой $l$, отложить на нем отрезок $MK$ длиной $h_a$ и через точку $K$ провести прямую $p$, параллельную $l$.
4. Из точки $M$ как из центра проводим окружность $\omega$ радиусом, равным длине медианы $m_a$.
5. Точка (или точки) пересечения прямой $p$ и окружности $\omega$ является искомой вершиной $A$. Если таких точек две, можно выбрать любую из них.
6. Соединяем точку $A$ с точками $B$ и $C$ отрезками. Треугольник $ABC$ построен.

Доказательство

Рассмотрим построенный треугольник $ABC$.

• Сторона $BC$ была построена равной длине $a$ по условию.
• Так как точка $A$ лежит на окружности $\omega$ с центром в точке $M$ (середине $BC$) и радиусом $m_a$, то отрезок $AM$ является медианой и его длина равна $m_a$.
• Так как точка $A$ лежит на прямой $p$, параллельной прямой $BC$ и удаленной от нее на расстояние $h_a$, то высота, проведенная из вершины $A$ к стороне $BC$, равна $h_a$.

Следовательно, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Возможность построения треугольника зависит от соотношения длин высоты $h_a$ и медианы $m_a$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AMK$, где $K$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на прямую $p$. В этом треугольнике гипотенуза $AM$ равна $m_a$, а катет $AK$ (равный расстоянию между прямыми $l$ и $p$) равен $h_a$.

• Если $m_a > h_a$, гипотенуза больше катета. Окружность $\omega$ пересекает прямую $p$ в двух точках, симметричных относительно прямой $MK$. Это приводит к построению двух конгруэнтных треугольников. Считается, что задача имеет одно решение.
• Если $m_a = h_a$, гипотенуза равна катету. Это возможно, только если второй катет равен нулю, то есть точки $A$ и $K$ совпадают. Окружность $\omega$ касается прямой $p$ в одной точке. В этом случае медиана совпадает с высотой, и треугольник $ABC$ является равнобедренным ($AB = AC$). Задача имеет единственное решение.
• Если $m_a < h_a$, гипотенуза оказывается короче катета, что невозможно. Окружность $\omega$ и прямая $p$ не имеют общих точек, и построение невозможно. Задача не имеет решения.

Таким образом, задача имеет решение тогда и только тогда, когда $m_a \ge h_a$.

Ответ: Искомый треугольник может быть построен с помощью описанного алгоритма. Задача имеет решение при условии, что данная длина медианы не меньше данной длины высоты ($m_a \ge h_a$).

696. Каково взаимное расположение биссектрис соответственных углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей?