Номер 693, страница 171 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 23. Задачи на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 693, страница 171.

693. Постройте прямоугольный треугольник по катету и радиусу вписанной окружности.

Анализ

Пусть искомый прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Обозначим катеты $AC = b$, $BC = a$ и гипотенузу $AB = c$. Пусть $r$ — радиус вписанной окружности. Даны отрезки, равные катету $a$ и радиусу $r$.

Пусть вписанная окружность с центром в точке $I$ касается сторон $BC$, $AC$ и $AB$ в точках $D$, $E$ и $F$ соответственно. Поскольку угол $C$ прямой, а $ID \perp BC$ и $IE \perp AC$, четырехугольник $CDIE$ является квадратом со стороной, равной радиусу вписанной окружности $r$. Отсюда следует, что $CD = CE = r$.

По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, имеем $BD = BF$. Длина отрезка $BD$ может быть найдена как разность длин катета $BC$ и отрезка $CD$: $BD = BC - CD = a - r$. Следовательно, $BF = a - r$.

Таким образом, точка касания $F$ на гипотенузе обладает двумя свойствами:

1. Она лежит на вписанной окружности, то есть на окружности с центром в точке $I$ и радиусом $r$.
2. Она лежит на окружности с центром в вершине $B$ и радиусом $BF = a - r$.

Это наблюдение позволяет построить точку $F$, а затем и весь треугольник.

Построение

1. Строим прямой угол с вершиной в точке $C$. Обозначим лучи, выходящие из $C$, как $Cx$ и $Cy$.
2. На луче $Cy$ откладываем отрезок $CB$, равный данному катету $a$.
3. На луче $Cy$ откладываем отрезок $CD$, равный данному радиусу $r$. На луче $Cx$ откладываем отрезок $CE$, также равный $r$.
4. Строим точку $I$ как четвертую вершину квадрата $CDIE$. Эта точка будет центром вписанной окружности.
5. Строим две окружности: первую, $k_1$, с центром в точке $I$ и радиусом $r$; вторую, $k_2$, с центром в точке $B$ и радиусом, равным длине отрезка $BD$ (то есть $a-r$).
6. Точка пересечения этих двух окружностей (любая из двух) является точкой $F$ — точкой касания вписанной окружности и гипотенузы.
7. Проводим прямую через точки $B$ и $F$.
8. Точка пересечения прямой $BF$ и луча $Cx$ является третьей вершиной треугольника — точкой $A$.
9. Треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

Построенный треугольник $ABC$ по построению является прямоугольным ($∠C = 90°$) и имеет катет $BC = a$. Необходимо доказать, что радиус его вписанной окружности равен $r$.

Рассмотрим окружность $k_1$ с центром в $I$ и радиусом $r$.

1. По построению квадрата $CDIE$, эта окружность касается катета $BC$ в точке $D$ (так как $ID \perp BC$ и $ID=r$) и катета $AC$ в точке $E$ (так как $IE \perp AC$ и $IE=r$).
2. Точка $F$ по построению лежит на этой окружности. Прямая $AB$ проходит через точку $F$. Для доказательства того, что $AB$ является касательной к окружности в точке $F$, нужно показать, что $IF \perp AB$.
3. Рассмотрим треугольники $ΔIBD$ и $ΔIBF$. У них:
   • сторона $IB$ — общая;
   • $ID = IF = r$ (как радиусы окружности $k_1$);
   • $BD = BF$ (по построению, так как $BF$ — радиус окружности $k_2$, равный $BD$).
4. Следовательно, $ΔIBD \cong ΔIBF$ по трем сторонам (признак SSS).
5. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $∠IFB = ∠IDB$.
6. Поскольку $ID \perp BC$, угол $∠IDB$ является прямым, то есть $∠IDB = 90°$.
7. Значит, и $∠IFB = 90°$, что доказывает перпендикулярность $IF$ и $AB$.
8. Таким образом, прямая $AB$ касается окружности $k_1$ в точке $F$.

Мы показали, что окружность $k_1$ с центром в $I$ и радиусом $r$ касается всех трех сторон треугольника $ABC$. Следовательно, это вписанная окружность треугольника $ABC$, и ее радиус равен $r$. Построение верно.

Ответ:

Треугольник построен согласно плану, изложенному в пунктах "Построение" и "Доказательство". Построение основывается на нахождении точки касания гипотенузы со вписанной окружностью как точки пересечения двух вспомогательных окружностей.

693. Через точку, не принадлежащую прямой $a$, провели три прямые. Докажите, что по крайней мере две из этих прямых пересекают прямую $a$.