Номер 697, страница 171 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 23. Задачи на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 697, страница 171.

697. Постройте треугольник, если даны три точки, в которых вписанная окружность касается его сторон.

Пусть даны три точки $D$, $E$ и $F$, в которых вписанная в некоторый треугольник $\triangle ABC$ окружность касается его сторон. Эти три точки однозначно определяют эту вписанную окружность, так как через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести единственную окружность. Стороны искомого треугольника являются касательными к этой окружности в данных точках.

Таким образом, план построения следующий:

1. Найти центр и радиус вписанной окружности, которая проходит через точки $D, E, F$. Эта окружность является описанной для треугольника $\triangle DEF$.
2. Построить касательные к этой окружности в точках $D, E, F$.
3. Найти точки пересечения этих касательных, которые и будут вершинами искомого треугольника $\triangle ABC$.

Пошаговое построение:

1. Соединим точки $D$, $E$ и $F$ отрезками, чтобы получить $\triangle DEF$.
2. Найдем центр $I$ окружности, описанной около $\triangle DEF$. Для этого построим серединные перпендикуляры к двум его сторонам (например, $DE$ и $EF$). Точка их пересечения $I$ и будет искомым центром.
3. Построим окружность с центром в точке $I$ и радиусом, равным расстоянию от $I$ до любой из точек $D$, $E$ или $F$ (например, $R = ID$). Эта окружность является вписанной для искомого $\triangle ABC$.
4. Проведем радиусы $ID$, $IE$ и $IF$.
5. Построим три прямые, являющиеся сторонами искомого треугольника. Каждая сторона перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания:
   • Через точку $D$ проведем прямую, перпендикулярную радиусу $ID$. Это будет сторона $BC$.
   • Через точку $E$ проведем прямую, перпендикулярную радиусу $IE$. Это будет сторона $AC$.
   • Через точку $F$ проведем прямую, перпендикулярную радиусу $IF$. Это будет сторона $AB$.
6. Пересечения этих трех прямых образуют вершины искомого треугольника $A$, $B$ и $C$.

Построенный таким образом $\triangle ABC$ является искомым, так как по построению окружность, проходящая через $D, E, F$, вписана в него и касается его сторон именно в этих точках. Задача имеет единственное решение, если точки $D, E, F$ не лежат на одной прямой.

Ответ: Для построения искомого треугольника необходимо сначала построить окружность, проходящую через три данные точки (она будет вписанной в искомый треугольник). Затем следует построить касательные к этой окружности в каждой из трех данных точек. Вершинами искомого треугольника будут точки пересечения этих касательных.

697. Прямая, проведённая через вершину треугольника параллельно его противолежащей стороне, образует с двумя другими сторонами равные углы. Докажите, что данный треугольник – равнобедренный.