Номер 692, страница 171 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 23. Задачи на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 692, страница 171.

692. Постройте треугольник по двум высотам и углу, из вершины которого проведена одна из данных высот. Сколько решений может иметь задача?

Пусть нам нужно построить треугольник $ABC$ по высоте $h_a$ (проведенной из вершины $A$), высоте $h_b$ (проведенной из вершины $B$) и углу $\angle A = \alpha$.

Построение треугольника

Сначала проведем анализ, чтобы определить план построения. Пусть $BE$ — высота, проведенная из вершины $B$ к стороне $AC$. Тогда в прямоугольном треугольнике $ABE$ известны катет $BE = h_b$ и противолежащий ему угол $\angle BAE$. Если угол $\alpha$ острый, то $\angle BAE = \alpha$. Если угол $\alpha$ тупой, то точка $A$ лежит между $E$ и $C$, и $\angle BAE = 180^\circ - \alpha$. В обоих случаях сторона $AB$ (обозначим ее длину как $c$) может быть найдена из соотношения $c = AB = \frac{BE}{\sin(\angle BAE)} = \frac{h_b}{\sin \alpha}$.

Таким образом, мы можем построить сторону $AB$ и прямую, содержащую сторону $AC$. Затем, используя высоту $h_a$, мы можем найти положение вершины $C$. Высота $h_a$ — это расстояние от точки $A$ до прямой $BC$. Это означает, что прямая $BC$ должна быть касательной к окружности с центром в точке $A$ и радиусом $h_a$.

Алгоритм построения:

1. Построим вспомогательный прямоугольный треугольник $ABE$. Для этого:
   • Проведем произвольную прямую $l$, на которой будет лежать сторона $AC$.
   • Выберем на ней произвольную точку $E$.
   • Восставим в точке $E$ перпендикуляр к прямой $l$.
   • На перпендикуляре отложим отрезок $BE$ длиной $h_b$.
   • Построим угол, равный $\alpha$ (или $180^\circ - \alpha$, если $\alpha$ тупой), с вершиной в точке $A$, одной стороной которого является луч $AE$. Другая сторона этого угла должна пройти через точку $B$. Для этого из точки $B$ проведем луч под углом $90^\circ - \alpha$ (если $\alpha$ острый) или $\alpha - 90^\circ$ (если $\alpha$ тупой) к лучу $BE$, до пересечения с прямой $l$. Точку пересечения обозначим $A$. В результате мы получим вершины $A$ и $B$ и прямую $l$, содержащую сторону $AC$.
2. Построим окружность с центром в точке $A$ и радиусом, равным $h_a$.
3. Из точки $B$ проведем касательные к построенной окружности. В общем случае таких касательных может быть две, одна или ни одной.
4. Точки пересечения этих касательных с прямой $l$ являются возможными положениями вершины $C$. Обозначим их $C_1, C_2$.
5. Необходимо выполнить проверку. Вершина $C$ должна лежать на прямой $l$ таким образом, чтобы угол при вершине $A$ в треугольнике $ABC$ был равен $\alpha$.
   • Если $\alpha$ — острый угол, то точка $C$ должна лежать на луче $AE$.
   • Если $\alpha$ — тупой угол, то точка $A$ должна лежать между $E$ и $C$, то есть $C$ должна лежать на луче, дополняющем $AE$.
   Треугольники, не удовлетворяющие этому условию, отбрасываются.

Ответ: Построение выполняется в соответствии с приведенным выше алгоритмом, который основывается на построении вспомогательного прямоугольного треугольника для нахождения стороны $AB$ и последующем использовании окружности радиуса $h_a$ для нахождения прямой $BC$.

Исследование количества решений

Количество решений задачи зависит от соотношения между данными величинами $h_a, h_b$ и $\alpha$. Проанализируем это, используя тригонометрические соотношения в треугольнике $ABC$.

Известно, что $h_b = c \sin \alpha$ и $h_a = c \sin \beta$. Отсюда можно выразить сторону $c$ и синус угла $\beta$:$c = \frac{h_b}{\sin \alpha}$$\sin \beta = \frac{h_a}{c} = \frac{h_a \sin \alpha}{h_b}$

Для существования угла $\beta$ необходимо, чтобы выполнялось условие $0 < \sin \beta \le 1$, то есть $0 < \frac{h_a \sin \alpha}{h_b} \le 1$, что равносильно $h_b \ge h_a \sin \alpha$.

Рассмотрим различные случаи.

1. Если $h_b < h_a \sin \alpha$, то $\sin \beta > 1$, что невозможно. В этом случае задача не имеет решений.
2. Если $h_b = h_a \sin \alpha$, то $\sin \beta = 1$, откуда $\beta = 90^\circ$.
   • Если $\alpha \ge 90^\circ$, то $\alpha + \beta \ge 180^\circ$, что невозможно для треугольника. Решений нет.
   • Если $\alpha < 90^\circ$, то $\alpha + \beta < 180^\circ$. Третий угол $\gamma$ определяется однозначно. В этом случае задача имеет одно решение.
3. Если $h_b > h_a \sin \alpha$, то $\sin \beta < 1$. Уравнение $\sin \beta = k$ (где $k=\frac{h_a \sin \alpha}{h_b}$) имеет два решения для $\beta$ в интервале $(0, 180^\circ)$: острое $\beta_1 = \arcsin(k)$ и тупое $\beta_2 = 180^\circ - \beta_1$.
   • Случай с острым углом $\beta_1$: Треугольник с углами $\alpha$ и $\beta_1$ всегда возможен, так как $\alpha + \beta_1 < 180^\circ$ (поскольку $\beta_1 < 90^\circ$). Это дает как минимум одно решение.
   • Случай с тупым углом $\beta_2$: Второй треугольник возможен, только если $\alpha + \beta_2 < 180^\circ$. Подставив $\beta_2 = 180^\circ - \beta_1$, получим $\alpha + 180^\circ - \beta_1 < 180^\circ$, что равносильно $\alpha < \beta_1$.
     • Если $\alpha \ge 90^\circ$, то $\alpha$ не может быть меньше острого угла $\beta_1$. Следовательно, второе решение невозможно.
     • Если $\alpha < 90^\circ$, то условие $\alpha < \beta_1$ эквивалентно $\sin \alpha < \sin \beta_1$ (так как оба угла в первой четверти). $\sin \alpha < \frac{h_a \sin \alpha}{h_b}$. Так как $\sin \alpha > 0$, получаем $1 < \frac{h_a}{h_b}$, то есть $h_b < h_a$.
   Итак, при $h_b > h_a \sin \alpha$:
   • Если $\alpha \ge 90^\circ$ или $h_b \ge h_a$, существует только одно решение (с острым углом $\beta$).
   • Если $\alpha < 90^\circ$ и $h_b < h_a$, существуют два решения.

Итог по количеству решений:

• Нет решений, если $h_b < h_a \sin \alpha$, а также если $h_b = h_a \sin \alpha$ при $\alpha \ge 90^\circ$.
• Одно решение, если:
  • $h_b = h_a \sin \alpha$ и $\alpha < 90^\circ$.
  • $h_b > h_a \sin \alpha$ и при этом выполняется хотя бы одно из условий: $\alpha \ge 90^\circ$ или $h_b \ge h_a$.
• Два решения, если одновременно выполняются три условия: $h_b > h_a \sin \alpha$, $\alpha < 90^\circ$ и $h_b < h_a$.

Ответ: Задача может иметь 0, 1 или 2 решения в зависимости от соотношения между данными $h_a, h_b, \alpha$. Условия для каждого случая подробно описаны выше.

692. В треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ медианы $AM$ и $A_1M_1$ равны, $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$. Докажите, что $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.