Номер 688, страница 171 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 23. Задачи на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 688, страница 171.

688. Постройте треугольник по двум сторонам и высоте, проведённой к третьей стороне. Сколько решений может иметь задача?

Пусть нам даны два отрезка, соответствующие сторонам треугольника $a$ и $b$, и отрезок $h$, соответствующий высоте, проведенной к третьей стороне. Обозначим искомый треугольник как $ABC$, где $BC=a$, $AC=b$, а высота $CH=h$ опущена на сторону $AB$ (или ее продолжение).

Постройте треугольник по двум сторонам и высоте, проведённой к третьей стороне.

Алгоритм построения с помощью циркуля и линейки:

1. Проведем произвольную прямую $l$. На этой прямой будет лежать сторона $AB$ искомого треугольника.
2. На прямой $l$ выберем произвольную точку $H$ — основание высоты.
3. Через точку $H$ проведем прямую $m$, перпендикулярную прямой $l$.
4. На прямой $m$ отложим отрезок $HC$ длиной, равной данной высоте $h$. Точка $C$ — одна из вершин искомого треугольника.
5. Из точки $C$ как из центра проведем окружность радиусом $b$ (длина стороны $AC$). Точки пересечения этой окружности с прямой $l$ — возможные положения для вершины $A$.
6. Из точки $C$ как из центра проведем окружность радиусом $a$ (длина стороны $BC$). Точки пересечения этой окружности с прямой $l$ — возможные положения для вершины $B$.
7. Соединив точку $C$ с одной из возможных точек $A$ и одной из возможных точек $B$ (при условии, что $A$ и $B$ не совпадают), мы получим искомый треугольник $ABC$.

Для того чтобы такое построение было возможно, необходимо, чтобы окружности из шагов 5 и 6 пересекали прямую $l$. Расстояние от центра окружностей (точки $C$) до прямой $l$ равно $h$. Следовательно, радиусы окружностей должны быть не меньше этого расстояния, то есть $a \ge h$ и $b \ge h$.

Ответ: Построение выполняется по описанному выше алгоритму. Необходимым условием является то, что длина каждой из данных сторон не меньше длины данной высоты.

Сколько решений может иметь задача?

Количество решений задачи (число неконгруэнтных треугольников) зависит от соотношения длин сторон $a$, $b$ и высоты $h$.

• 0 решений. Задача не имеет решений, если хотя бы одна из сторон короче высоты ($a < h$ или $b < h$), так как в этом случае соответствующая сторона не "дотянется" от вершины $C$ до прямой, на которой лежит основание. Также решений нет в вырожденном случае, когда $a = b = h$, так как тогда обе вершины $A$ и $B$ должны совпасть с основанием высоты $H$, и треугольник не образуется.
• 1 решение. Задача имеет единственное решение в двух случаях:
  1) Одна из сторон равна высоте, а другая строго больше (например, $b = h$ и $a > h$). В этом случае треугольник будет прямоугольным, так как одна из вершин основания (в данном примере $A$) совпадет с точкой $H$.
  2) Стороны равны между собой и строго больше высоты ($a = b > h$). В этом случае треугольник будет равнобедренным.
• 2 решения. Задача имеет два различных решения, если обе стороны строго больше высоты и не равны друг другу ($a > h$, $b > h$ и $a \ne b$). В этом случае можно построить два неконгруэнтных треугольника:
  1) Вершины $A$ и $B$ лежат по одну сторону от основания высоты $H$.
  2) Вершины $A$ и $B$ лежат по разные стороны от основания высоты $H$.
  Эти два треугольника будут иметь разную длину третьей стороны ($c = |\sqrt{a^2-h^2} - \sqrt{b^2-h^2}|$ в первом случае и $c = \sqrt{a^2-h^2} + \sqrt{b^2-h^2}$ во втором), а значит, они не конгруэнтны.

Ответ: Задача может иметь 0, 1 или 2 решения.

688. Медиана треугольника ABC разбивает его на два треугольника, периметры которых равны. Докажите, что треугольник ABC – равнобедренный.