Номер 684, страница 170 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 23. Задачи на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 684, страница 170.

684. Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней острому углу и высоте, проведённой к данной стороне.

Для построения треугольника по стороне, прилежащему к ней острому углу и высоте, проведённой к этой стороне, выполним следующие шаги. Пусть нам даны отрезок, равный стороне $a$, угол, равный $\alpha$, и отрезок, равный высоте $h_a$.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. Пусть $BC$ — данная сторона, то есть $BC = a$. Угол, прилежащий к ней, — $\angle B = \alpha$. Высота, проведённая к стороне $BC$, — это перпендикуляр $AH$, опущенный из вершины $A$ на прямую $BC$, и его длина равна $h_a$.

Из этого следует, что вершина $A$ должна удовлетворять двум условиям:

1. Вершина $A$ должна лежать на луче, исходящем из точки $B$ под углом $\alpha$ к стороне $BC$.
2. Вершина $A$ должна быть удалена от прямой, содержащей сторону $BC$, на расстояние $h_a$. Геометрическим местом точек, равноудалённых от прямой, является пара параллельных прямых.

Следовательно, вершина $A$ является точкой пересечения этих двух геометрических мест: луча и прямой, параллельной стороне $BC$.

Построение

1. Начертим произвольную прямую $l$. На ней выберем точку $B$ — одну из вершин будущего треугольника.
2. С помощью циркуля отложим от точки $B$ на прямой $l$ отрезок $BC$, равный данной стороне $a$.
3. От луча $BC$ построим угол, равный данному углу $\alpha$. Получим луч $m$. Вершина $A$ будет лежать на этом луче.
4. Теперь построим прямую, параллельную $l$ и отстоящую от неё на расстояние $h_a$. Для этого:
   • В любой точке прямой $l$ (удобно взять точку $B$) восстановим перпендикуляр к прямой $l$.
   • На этом перпендикуляре отложим от точки $B$ отрезок, равный данной высоте $h_a$. Обозначим конец этого отрезка точкой $D$.
   • Через точку $D$ проведём прямую $p$, параллельную прямой $l$. Все точки прямой $p$ находятся на расстоянии $h_a$ от прямой $l$.
5. Точка пересечения луча $m$ и прямой $p$ и будет искомой вершиной $A$. Так как по условию угол $\alpha$ острый ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$), луч $m$ не параллелен прямой $p$ и пересечёт её в единственной точке.
6. Соединим точки $A$ и $C$ отрезком. Треугольник $ABC$ построен.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ по построению выполнены все условия задачи:

• Сторона $BC$ равна данной стороне $a$.
• Угол $\angle ABC$ равен данному углу $\alpha$.
• Высота, проведённая из вершины $A$ к прямой $BC$, равна $h_a$, так как точка $A$ лежит на прямой $p$, которая параллельна прямой $BC$ и находится от неё на расстоянии $h_a$.

Следовательно, построенный треугольник $ABC$ является искомым.

Ответ: Треугольник успешно построен согласно приведенному алгоритму, так как все условия задачи выполнены.

684. Равнобедренные треугольники $ABC$ и $ADC$ имеют общее основание $AC$. Докажите, что прямая $BD$ — серединный перпендикуляр отрезка $AC$.