Номер 678, страница 170 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 23. Задачи на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 678, страница 170.

678. Как разделить пополам отрезок, длина которого в несколько раз больше наибольшего раствора циркуля?

Для того чтобы разделить пополам отрезок, длина которого в несколько раз больше наибольшего раствора циркуля, можно использовать метод, основанный на свойствах подобных треугольников (в частности, на теореме Фалеса). Построение выполняется с помощью циркуля и линейки.

Пусть дан отрезок $AB$, который необходимо разделить пополам.

1. Через точку $A$ проведите произвольный луч $l$, не лежащий на прямой $AB$.

2. Выберите на циркуле произвольный раствор (радиус) $r$, который меньше или равен его максимальному раствору.

3. На луче $l$, начиная от точки $A$, отложите последовательно два равных отрезка. Сначала постройте окружность (или дугу) с центром в точке $A$ и радиусом $r$. Точку её пересечения с лучом $l$ обозначьте $C$. Затем, не меняя раствора циркуля, постройте окружность (или дугу) с центром в точке $C$ и тем же радиусом $r$. Точку её пересечения с лучом $l$ (отличную от $A$) обозначьте $D$. В результате точка $C$ будет являться серединой отрезка $AD$.

4. Соедините точку $D$ с точкой $B$ при помощи линейки, получив отрезок $DB$. Таким образом, у нас есть треугольник $\triangle ADB$.

5. Теперь необходимо построить прямую, проходящую через точку $C$ и параллельную стороне $DB$. Это можно сделать, скопировав угол $\angle ADB$ в вершину $C$.

   • С помощью циркуля, установленного на произвольный малый раствор $r_1$, проведите дугу с центром в точке $D$, которая пересечет стороны $DA$ и $DB$ в точках $E$ и $F$ соответственно.

   • Не меняя раствора циркуля ($r_1$), проведите дугу с центром в точке $C$, которая пересечет луч $l$ в точке $G$.

   • Измерьте циркулем расстояние $EF$.

   • Проведите дугу с центром в точке $G$ и радиусом, равным $EF$. Точка пересечения этой дуги с дугой, проведенной из точки $C$, даст нам точку $H$.

   • Проведите прямую через точки $C$ и $H$. Эта прямая будет параллельна прямой $DB$ (по построению равных соответственных углов).

6. Построенная прямая $CH$ пересечет исходный отрезок $AB$ в некоторой точке $M$.

В треугольнике $\triangle ADB$ прямая $CM$ проходит через середину стороны $AD$ (точку $C$) и параллельна стороне $DB$. По теореме Фалеса, такая прямая пересекает третью сторону ($AB$) в её середине. Следовательно, точка $M$ является искомой серединой отрезка $AB$. Все построения выполнялись с помощью циркуля, раствор которого не превышал максимально допустимого.

Ответ: Точка $M$, полученная в результате описанного выше геометрического построения, является серединой исходного отрезка.

678. В остроугольных треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ проведены высоты $BD$ и $B_1D_1$ соответственно. Докажите, что $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$, если $BD = B_1D_1$, $AD = A_1D_1$, $CD = C_1D_1$.