Номер 671, страница 170 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 23. Задачи на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 671, страница 170.

671. Постройте окружность, касающуюся сторон данного угла, причём одной из них — в данной точке.

Для построения искомой окружности необходимо найти её центр и радиус. Пусть дан угол с вершиной в точке $A$ и сторонами, являющимися лучами $l_1$ и $l_2$. Пусть на стороне $l_1$ задана точка $M$, в которой окружность должна касаться этой стороны.

Проанализируем свойства искомой окружности:

1. Центр окружности, касающейся обеих сторон угла, должен быть равноудалён от этих сторон. Геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от сторон угла, есть его биссектриса. Следовательно, центр искомой окружности, обозначим его $O$, должен лежать на биссектрисе угла $A$.
2. По свойству касательной к окружности, радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Так как окружность должна касаться стороны $l_1$ в точке $M$, её радиус $OM$ должен быть перпендикулярен прямой, содержащей луч $l_1$. Это означает, что центр $O$ должен лежать на прямой, которая перпендикулярна $l_1$ и проходит через точку $M$.

Из этого следует, что центр искомой окружности $O$ является точкой пересечения биссектрисы угла $A$ и перпендикуляра к стороне $l_1$, проведённого через точку $M$. Радиус $R$ этой окружности будет равен длине отрезка $OM$.

Таким образом, алгоритм построения следующий:

1. С помощью циркуля и линейки построить биссектрису данного угла $A$.
2. В точке $M$ на стороне $l_1$ восстановить перпендикуляр к этой стороне.
3. Найти точку $O$ — точку пересечения построенной биссектрисы и перпендикуляра. Эта точка и является центром искомой окружности.
4. С помощью циркуля построить окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R = OM$.

Построенная окружность будет искомой. Она касается стороны $l_1$ в точке $M$ по построению (так как $OM \perp l_1$). Поскольку её центр $O$ лежит на биссектрисе угла, он равноудалён от сторон $l_1$ и $l_2$. Расстояние от $O$ до $l_1$ равно радиусу $OM$, следовательно, расстояние от $O$ до $l_2$ также равно радиусу, и окружность касается стороны $l_2$.

Ответ: Искомая окружность имеет центр в точке пересечения биссектрисы данного угла и перпендикуляра к стороне угла, проведённого через данную точку касания. Радиус окружности равен расстоянию от найденного центра до данной точки касания.

671. Градусные меры смежных углов $ABC$ и $CBD$ относятся как $5 : 4$. Найдите угол между биссектрисами углов $ABC$ и $ABD$. Сколько решений имеет задача?