Номер 668, страница 170 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 23. Задачи на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 668, страница 170.

668. Через данную точку, принадлежащую углу, проведите прямую, отсекающую на сторонах угла равные отрезки.

Пусть дан угол с вершиной в точке $O$ и сторонами-лучами $a$ и $b$. Пусть $M$ — данная точка, расположенная внутри этого угла. Требуется построить прямую, проходящую через точку $M$, которая пересекает стороны угла $a$ и $b$ в точках $A$ и $B$ соответственно, так, чтобы отрезки, отсекаемые от вершины, были равны, то есть $OA = OB$.

Для решения задачи проанализируем свойства искомой прямой. Если прямая $AB$ отсекает на сторонах угла равные отрезки $OA$ и $OB$, то треугольник $\triangle OAB$, образованный этой прямой и сторонами угла, является равнобедренным с основанием $AB$. В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине ($\angle AOB$) является также и высотой, проведенной к основанию. Это означает, что биссектриса угла $\angle AOB$ должна быть перпендикулярна искомой прямой $AB$.

Это наблюдение позволяет сформулировать следующий алгоритм построения:

1. Построить биссектрису $l$ данного угла $\angle AOB$.
2. Через данную точку $M$ провести прямую $p$, перпендикулярную биссектрисе $l$.
3. Построенная прямая $p$ является искомой.

Докажем, что построенная прямая $p$ действительно отсекает равные отрезки на сторонах угла. Пусть прямая $p$ пересекает стороны угла в точках $A$ и $B$, а биссектрису $l$ — в точке $K$. Рассмотрим треугольники $\triangle OKA$ и $\triangle OKB$.

• Сторона $OK$ — общая.
• Углы $\angle AOK$ и $\angle BOK$ равны, так как $OK$ — биссектриса угла $\angle AOB$.
• Углы $\angle OKA$ и $\angle OKB$ — прямые, равны $90^\circ$, так как по построению прямая $p$ перпендикулярна биссектрисе $l$.

Следовательно, треугольники $\triangle OKA$ и $\triangle OKB$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $OA = OB$, что и требовалось доказать.

Данное построение всегда возможно и приводит к единственному решению, поскольку у любого угла существует единственная биссектриса, и через любую точку можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной прямой. Так как точка $M$ лежит внутри угла, построенная прямая всегда пересечет обе стороны (луча) угла.

Ответ: Искомая прямая — это прямая, проходящая через данную точку и перпендикулярная биссектрисе данного угла.

668. На прямой отметили 10 точек: A, B, C, D, E, F, M, N, K, P. Сколько при этом образовалось отрезков, одним из концов которых является точка A? Сколько всего образовалось отрезков с концами в отмеченных точках? Зависит ли общее количество отрезков от того, лежат ли отмеченные точки на одной прямой?