Номер 670, страница 170 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 23. Задачи на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 670, страница 170.

670. Дан угол, равный $30^\circ$. Постройте окружность заданного радиуса с центром, принадлежащим одной из сторон данного угла, касающуюся его другой стороны.

Для решения данной задачи необходимо провести анализ, на основе которого будет составлен план построения, а затем доказать корректность этого построения.

Анализ

Пусть дан угол $\angle A$ величиной $30^\circ$ со сторонами (лучами) $l_1$ и $l_2$, и задан радиус $R$. Требуется построить окружность с центром $O$ на одной из сторон угла, которая касается другой стороны.

Предположим, что искомая окружность уже построена. Пусть ее центр, точка $O$, лежит на стороне $l_1$. По свойству касательной, окружность касается стороны $l_2$ в некоторой точке $P$ тогда и только тогда, когда радиус $OP$ перпендикулярен стороне $l_2$. Таким образом, расстояние от центра $O$ до стороны $l_2$ равно радиусу окружности $R$.

Рассмотрим треугольник $\triangle APO$, где $A$ — вершина данного угла. Этот треугольник является прямоугольным, так как $OP \perp l_2$, следовательно, $\angle APO = 90^\circ$. Угол $\angle PAO$ равен $30^\circ$ по условию. Катет $OP$ является радиусом окружности, то есть $OP = R$. Гипотенуза $AO$ — это расстояние от вершины угла до центра окружности, которое нам нужно найти для построения.

Из свойств прямоугольного треугольника известно, что катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. В нашем случае это означает, что $OP = \frac{1}{2} AO$.

Так как $OP = R$, мы получаем уравнение: $R = \frac{1}{2} AO$. Решая его относительно $AO$, находим, что расстояние от вершины угла до центра окружности должно быть равно $AO = 2R$.

Таким образом, анализ показывает, что центр искомой окружности $O$ должен находиться на одной из сторон угла на расстоянии $2R$ от его вершины. Это и является ключом к построению.

Построение

1. Пусть дан угол $\angle BAC = 30^\circ$ и отрезок, задающий радиус $R$.
2. С помощью циркуля измеряем длину радиуса $R$ и откладываем на произвольной прямой отрезок длиной $2R$ (дважды отложив отрезок $R$).
3. Устанавливаем раствор циркуля равным длине $2R$.
4. Поставив ножку циркуля в вершину угла $A$, проводим дугу, пересекающую одну из сторон угла (например, луч $AB$) в точке $O$. Эта точка и будет центром искомой окружности.
5. Устанавливаем раствор циркуля равным заданному радиусу $R$.
6. Проводим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$.

Доказательство

Проверим, что построенная окружность удовлетворяет всем условиям задачи.
Центр на стороне угла: По построению, центр $O$ лежит на стороне $AB$ данного угла.
Радиус равен R: Окружность построена с радиусом $R$.
Касание другой стороны: Необходимо доказать, что расстояние от центра $O$ до стороны $AC$ равно $R$. Проведем из точки $O$ перпендикуляр $OP$ к стороне $AC$. В образовавшемся прямоугольном треугольнике $\triangle APO$ гипотенуза $AO$ по построению равна $2R$, а острый угол $\angle PAO$ равен $30^\circ$. Катет $OP$, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы: $OP = \frac{1}{2} AO = \frac{1}{2} (2R) = R$. Так как расстояние от центра $O$ до прямой $AC$ равно радиусу окружности, то окружность касается стороны $AC$.
Все условия задачи выполнены.

Ответ: Для построения окружности нужно на одной из сторон угла от его вершины отложить отрезок длиной, равной удвоенному заданному радиусу ($2R$). Полученная точка будет являться центром искомой окружности. Затем из этой точки следует провести окружность заданного радиуса $R$.

670. Начертите угол $MKE$, равный $120^\circ$. Проведите луч $KC$ так, чтобы $\angle MKC = 60^\circ$. Найдите угол $CKE$ и укажите его вид. Сколько решений имеет задача?