Номер 672, страница 170 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 23. Задачи на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 672, страница 170.

672. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и острому углу.

Дано:

Отрезок, равный по длине гипотенузе $c$, и угол, равный острому углу $\alpha$.

Построить:

Прямоугольный треугольник $\triangle ABC$ такой, что его гипотенуза $AB$ равна $c$, один из острых углов, например $\angle A$, равен $\alpha$, и $\angle C = 90^\circ$.

Анализ:

Предположим, что искомый треугольник $\triangle ABC$ построен. В нем $\angle C = 90^\circ$, гипотенуза $AB = c$ и $\angle A = \alpha$.

Геометрическим местом точек, из которых данный отрезок $AB$ виден под прямым углом, является окружность, построенная на отрезке $AB$ как на диаметре. Следовательно, вершина $C$ прямого угла должна лежать на этой окружности.

Кроме того, вершина $C$ должна лежать на луче, выходящем из точки $A$ и образующем с отрезком $AB$ угол, равный $\alpha$.

Таким образом, точка $C$ является точкой пересечения двух фигур: окружности с диаметром $AB$ и луча, построенного из точки $A$ под углом $\alpha$ к $AB$. Это и определяет план построения.

Построение:

1. С помощью линейки и циркуля строим отрезок $AB$, равный данной гипотенузе $c$.

2. Строим угол, равный данному углу $\alpha$, с вершиной в точке $A$ и одной стороной на луче $AB$. Получаем луч $AM$.

3. Находим середину отрезка $AB$. Обозначим ее точкой $O$. Для этого строим две дуги окружностей с центрами в точках $A$ и $B$ и одинаковым радиусом, большим половины длины $AB$. Прямая, проходящая через точки пересечения этих дуг (серединный перпендикуляр), пересечет отрезок $AB$ в его середине $O$.

4. Строим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $OA$ (равным $OB$).

5. Точка пересечения луча $AM$ и построенной окружности является искомой третьей вершиной треугольника. Обозначим ее $C$.

6. Соединяем отрезком точки $C$ и $B$. Искомый треугольник $\triangle ABC$ построен.

Доказательство:

Рассмотрим построенный треугольник $\triangle ABC$.

1. Сторона $AB$ является гипотенузой и ее длина равна $c$ по построению.

2. Угол $\angle BAC$ (то есть $\angle A$) равен $\alpha$ по построению.

3. Точка $C$ лежит на окружности, для которой отрезок $AB$ является диаметром. По свойству вписанного угла, опирающегося на диаметр, угол $\angle ACB$ равен $90^\circ$.

Таким образом, $\triangle ABC$ — это прямоугольный треугольник с заданной гипотенузой $c$ и острым углом $\alpha$. Построение верное.

Исследование:

Задача имеет решение, если данный угол $\alpha$ является острым ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$). В этом случае луч $AM$ не совпадает с прямой $AB$ и не является касательной к окружности в точке $A$. Следовательно, луч $AM$ пересекает окружность в единственной точке $C$, отличной от $A$. Если построить угол $\alpha$ по другую сторону от прямой $AB$, получится треугольник, конгруэнтный (равный) построенному. Следовательно, задача всегда имеет единственное решение с точностью до конгруэнтности.

Ответ: Прямоугольный треугольник построен согласно приведенному алгоритму.

672. Два угла имеют общую сторону и не имеют других общих точек. Явля-ются ли эти углы смежными, если:

1) их величины относятся как 11 : 19 и один из углов на $32^\circ$ больше другого;

2) их величины относятся как 7 : 3 и один из углов на $72^\circ$ меньше другого?