Номер 673, страница 170 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 23. Задачи на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 673, страница 170.

673. Постройте прямоугольный треугольник по катету и противолежащему острому углу.

Для построения прямоугольного треугольника по катету и противолежащему острому углу воспользуемся циркулем и линейкой. Пусть дан отрезок, длина которого равна катету $a$, и угол, равный противолежащему этому катету острому углу $\alpha$.

Построение начнем с проведения произвольной прямой $l$, на которой отметим точку $A$ — будущую вершину угла $\alpha$. От точки $A$ на прямой $l$ построим луч $m$ так, чтобы угол между прямой $l$ и лучом $m$ был равен данному углу $\alpha$. Далее, необходимо определить положение вершины $B$ на луче $m$ и вершины прямого угла $C$ на прямой $l$. Поскольку катет $BC$ должен иметь длину $a$ и быть перпендикулярен катету $AC$ (лежащему на прямой $l$), то точка $B$ должна быть удалена от прямой $l$ на расстояние $a$. Для нахождения такой точки построим прямую $p$, параллельную прямой $l$ и находящуюся на расстоянии $a$ от нее. Это делается путем восстановления перпендикуляра в любой точке прямой $l$, откладывания на нем отрезка длиной $a$ и проведения через его конец прямой, параллельной $l$.

Точка пересечения построенной прямой $p$ и луча $m$ и будет искомой вершиной $B$. Чтобы найти последнюю вершину $C$, опустим из точки $B$ перпендикуляр на прямую $l$. Основание этого перпендикуляра и есть точка $C$. Соединив точки $A$, $B$ и $C$, получим искомый треугольник.

Докажем, что построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет условиям. Во-первых, он прямоугольный, так как $\angle BCA = 90^\circ$ по построению (поскольку $BC$ — перпендикуляр к $l$). Во-вторых, острый угол $\angle BAC$ равен $\alpha$ по построению. В-третьих, катет $BC$, лежащий напротив угла $\angle BAC$, имеет длину $a$, так как его длина равна расстоянию между параллельными прямыми $l$ и $p$, которое мы задали равным $a$. Таким образом, все условия задачи выполнены.

Ответ: Искомый треугольник строится по вышеописанному алгоритму.

Рис. 338

673. На рисунке 338 $BD \perp BC$. Угол между биссектрисами углов ABD и DBC равен 55°. Найдите угол ABD.

Треугольники