Номер 675, страница 170 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 23. Задачи на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 675, страница 170.

675. Постройте равнобедренный треугольник:

1) по боковой стороне и углу при основании;

2) по боковой стороне и высоте, проведённой к основанию.

1) по боковой стороне и углу при основании

Пусть нам дан отрезок $b$, равный боковой стороне, и угол $\alpha$, равный углу при основании равнобедренного треугольника. Построение возможно, если $2\alpha < 180^\circ$, то есть $\alpha < 90^\circ$.

Алгоритм построения:

1. Проведём произвольную прямую $a$ и отметим на ней точку $A$. Эта точка будет одной из вершин основания.
2. От луча, являющегося частью прямой $a$ с началом в точке $A$, отложим угол, равный данному углу $\alpha$. Построим луч $l$ с началом в точке $A$.
3. На луче $l$ отложим отрезок $AB$, равный данной боковой стороне $b$.
4. Теперь нам нужно найти третью вершину $C$, которая лежит на прямой $a$. Так как треугольник равнобедренный, то вторая боковая сторона $BC$ должна быть равна первой, то есть $BC = AB = b$.
5. Построим окружность с центром в точке $B$ и радиусом, равным $b$.
6. Эта окружность пересечёт прямую $a$ в двух точках: в точке $A$ (так как $BA=b$) и в некоторой другой точке $C$.
7. Соединим точки $A$, $B$ и $C$. Полученный треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство: В построенном треугольнике $\triangle ABC$ сторона $AB = b$ по построению. Сторона $BC$ является радиусом окружности с центром в точке $B$ и радиусом $b$, следовательно, $BC = b$. Таким образом, $AB = BC$, и треугольник $ABC$ является равнобедренным. Угол при основании $\angle BAC$ равен $\alpha$ по построению. Так как в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то $\angle BCA = \angle BAC = \alpha$. Значит, треугольник $ABC$ — искомый равнобедренный треугольник.

Ответ: Треугольник построен.

2) по боковой стороне и высоте, проведённой к основанию

Пусть нам дан отрезок $b$, равный боковой стороне, и отрезок $h$, равный высоте, проведённой к основанию. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также и медианой. Эта высота делит равнобедренный треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Боковая сторона будет гипотенузой, а высота — катетом в таком прямоугольном треугольнике. Построение возможно, если боковая сторона больше высоты, то есть $b > h$.

Алгоритм построения:

1. Проведём произвольную прямую $a$. На ней будет лежать основание искомого треугольника.
2. Отметим на прямой $a$ произвольную точку $H$. Эта точка будет основанием высоты.
3. Через точку $H$ проведём прямую $p$, перпендикулярную прямой $a$.
4. На прямой $p$ от точки $H$ отложим отрезок $HB$, равный данной высоте $h$. Точка $B$ — вершина треугольника, противолежащая основанию.
5. Теперь нам нужно найти вершины $A$ и $C$, лежащие на прямой $a$. Расстояние от вершины $B$ до вершин $A$ и $C$ равно длине боковой стороны $b$.
6. Построим окружность с центром в точке $B$ и радиусом, равным $b$.
7. Так как $b > h$, эта окружность пересечёт прямую $a$ в двух точках, которые мы назовём $A$ и $C$.
8. Соединим точки $A$, $B$ и $C$. Полученный треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство: В построенном треугольнике $\triangle ABC$ отрезки $AB$ и $BC$ являются радиусами окружности с центром в точке $B$ и радиусом $b$, следовательно, $AB = BC = b$. Значит, треугольник $ABC$ — равнобедренный с заданной боковой стороной. Отрезок $BH$ по построению перпендикулярен прямой $AC$ и его длина равна $h$. Следовательно, $BH$ — высота треугольника, проведённая к основанию, и её длина равна заданной. Значит, треугольник $ABC$ — искомый.

Ответ: Треугольник построен.

675. Найдите периметр треугольника $ABC$, если $AB + BC = 27$ см, $AB + AC = 28$ см, $BC + AC = 29$ см.