Номер 676, страница 170 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 23. Задачи на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 676, страница 170.

676. Постройте равнобедренный прямоугольный треугольник по гипотенузе.

Для построения равнобедренного прямоугольного треугольника по его гипотенузе воспользуемся свойствами этого треугольника и стандартными построениями с помощью циркуля и линейки.

Пусть дан отрезок AB, который является гипотенузой искомого треугольника.

Анализ

Пусть треугольник ABC — искомый, где AB — гипотенуза, а угол C — прямой ($ \angle C = 90^\circ $). Так как треугольник равнобедренный, то его катеты равны: $AC = BC$. Из этого следует, что углы при основании (гипотенузе) также равны: $ \angle A = \angle B = (180^\circ - 90^\circ) / 2 = 45^\circ $.
В любом прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Если M — середина гипотенузы AB, то $CM = AM = BM$. Это означает, что вершина C лежит на окружности, центр которой — середина гипотенузы, а диаметр — сама гипотенуза AB.
Кроме того, в равнобедренном треугольнике ABC медиана CM, проведенная к основанию AB, является также высотой. Следовательно, прямая CM перпендикулярна гипотенузе AB.
Таким образом, для нахождения вершины C необходимо найти точку, которая одновременно лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB и удалена от середины AB на расстояние, равное половине длины AB.

Построение

1. Находим середину гипотенузы AB. Для этого строим серединный перпендикуляр к отрезку AB.
   • Из точек A и B как из центров проводим две дуги окружности с одинаковым радиусом $R$, который заведомо больше половины длины отрезка AB ($R > \frac{1}{2}AB$).
   • Эти дуги пересекутся в двух точках, назовем их P и Q.
   • Проводим прямую через точки P и Q. Эта прямая является серединным перпендикуляром к отрезку AB. Обозначим точку пересечения этой прямой с отрезком AB как M. Точка M — искомая середина AB.
2. Находим вершину прямого угла C.
   • Измеряем циркулем расстояние AM (или BM).
   • С центром в точке M проводим окружность (или дугу) радиусом AM.
   • Эта окружность пересечет построенный серединный перпендикуляр в двух точках (по одной с каждой стороны от отрезка AB). Выбираем любую из них и обозначаем ее буквой C.
3. Завершаем построение. Соединяем отрезками точки A, B и C. Полученный треугольник ABC является искомым.

Доказательство

Рассмотрим построенный треугольник ABC.
1. По построению, точка C лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB. По свойству серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов отрезка, следовательно, $AC = BC$. Это означает, что треугольник ABC — равнобедренный.
2. По построению, M — середина гипотенузы AB, и мы выбрали точку C так, что $CM = AM = BM = \frac{1}{2}AB$. В треугольнике ABC отрезок CM является медианой. Поскольку медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то по соответствующему признаку треугольник ABC является прямоугольным, а угол, противолежащий этой стороне (AB), — прямой. Следовательно, $ \angle ACB = 90^\circ $.
Таким образом, построенный треугольник ABC является равнобедренным и прямоугольным, а данный отрезок AB — его гипотенузой.

Ответ: Искомый треугольник строится путем нахождения середины данной гипотенузы, возведения из этой точки перпендикуляра и откладывания на нем отрезка, равного половине гипотенузы; конец этого отрезка и будет третьей вершиной треугольника.

676. На рисунке 339 $\angle 1 = \angle 2$, $\angle 3 = \angle 4$, $AD = CF$. Докажите, что $\triangle ABC = \triangle DEF$.

Рис. 339