Номер 674, страница 170 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 23. Задачи на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 674, страница 170.

674. Постройте равнобедренный треугольник:

1) по высоте, опущенной на основание, и углу при вершине;

2) по основанию и медиане, проведённой к основанию;

3) по основанию и высоте, проведённой к боковой стороне.

1) по высоте, опущенной на основание, и углу при вершине;

Пусть даны отрезок $h$, равный высоте, и угол $\alpha$, равный углу при вершине. Необходимо построить равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$, в котором высота $BH$, опущенная на основание, равна $h$, а угол при вершине $\angle ABC = \alpha$.

Анализ: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также биссектрисой и медианой. Следовательно, высота $BH$ делит угол при вершине $\alpha$ пополам ($\angle ABH = \angle CBH = \alpha/2$) и перпендикулярна основанию $AC$. Это означает, что задача сводится к построению прямоугольного треугольника $ABH$ по катету $BH=h$ и прилежащему острому углу $\angle ABH = \alpha/2$. Затем достраивается симметричный ему треугольник $CBH$.

Построение:

1. Проведем произвольную прямую $l$ и выберем на ней точку $H$.
2. Через точку $H$ проведем прямую $m$, перпендикулярную прямой $l$.
3. На прямой $m$ отложим отрезок $BH$ длиной $h$. Точка $B$ будет вершиной искомого треугольника.
4. Построим угол, равный $\alpha$, и проведем его биссектрису, получив угол $\alpha/2$.
5. От луча $HB$ в одну из полуплоскостей относительно прямой $m$ отложим угол, равный $\alpha/2$. Сторона этого угла пересечет прямую $l$ в точке $A$.
6. На прямой $l$ от точки $H$ отложим отрезок $HC$, равный отрезку $HA$, в полуплоскости, не содержащей точку $A$.
7. Соединим точки $A$, $B$ и $C$.

Доказательство: По построению $BH \perp AC$, значит, $BH$ — высота, и ее длина равна $h$. Треугольники $ABH$ и $CBH$ прямоугольные. Они равны по двум катетам, так как $BH$ — общий катет, а $AH=CH$ по построению. Из равенства треугольников следует, что $AB=CB$, то есть треугольник $ABC$ — равнобедренный. Также из равенства следует, что $\angle ABH = \angle CBH$. Поскольку $\angle ABH$ был построен равным $\alpha/2$, то $\angle ABC = \angle ABH + \angle CBH = \alpha/2 + \alpha/2 = \alpha$. Таким образом, построенный треугольник удовлетворяет всем условиям.

Ответ: Треугольник $ABC$ является искомым.

2) по основанию и медиане, проведённой к основанию;

Пусть даны отрезок $a$, равный основанию, и отрезок $m$, равный медиане, проведенной к основанию. Необходимо построить равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC=a$ и медианой $BH=m$.

Анализ: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также высотой. Следовательно, $BH$ перпендикулярна $AC$, а точка $H$ — середина $AC$. Это означает, что мы можем построить прямоугольный треугольник $ABH$ по двум катетам: $BH=m$ и $AH = a/2$.

Построение:

1. Проведем прямую и отложим на ней отрезок $AC$ длиной $a$.
2. Найдем середину отрезка $AC$, точку $H$ (например, с помощью построения серединного перпендикуляра).
3. Через точку $H$ проведем прямую $l$, перпендикулярную $AC$.
4. На прямой $l$ от точки $H$ отложим отрезок $BH$ длиной $m$.
5. Соединим точку $B$ с точками $A$ и $C$.

Доказательство: По построению, основание $AC$ равно $a$. Отрезок $BH$ соединяет вершину $B$ с серединой $H$ стороны $AC$, следовательно, $BH$ — медиана, и ее длина равна $m$. Так как $BH \perp AC$ по построению, то $BH$ является также и высотой. В треугольнике, где медиана является высотой, этот треугольник — равнобедренный. Таким образом, $\triangle ABC$ — искомый.

Ответ: Треугольник $ABC$ является искомым.

3) по основанию и высоте, проведённой к боковой стороне.

Пусть даны отрезок $a$, равный основанию, и отрезок $h_b$, равный высоте, проведенной к боковой стороне. Необходимо построить равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC=a$ и высотой $AK=h_b$ к боковой стороне $BC$.

Анализ: Рассмотрим прямоугольный треугольник $AKC$, в котором $\angle AKC = 90^\circ$. В этом треугольнике нам известны гипотенуза $AC=a$ и катет $AK=h_b$. Мы можем построить этот треугольник, если $a \ge h_b$. Если $a < h_b$, построение невозможно. Если $a = h_b$, то $K$ совпадает с $C$, и $\angle C = 90^\circ$, что для равнобедренного треугольника с основанием $AC$ и равными сторонами $AB=BC$ приводит к противоречию. Следовательно, для существования невырожденного решения необходимо, чтобы $a > h_b$.Построив $\triangle AKC$, мы определим положение вершин $A$ и $C$, а также прямой $CK$, на которой лежит вершина $B$. Так как $\triangle ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$, то $AB=BC$, значит, вершина $B$ равноудалена от $A$ и $C$. Геометрическое место точек, равноудаленных от $A$ и $C$, — это серединный перпендикуляр к отрезку $AC$. Таким образом, вершина $B$ — это точка пересечения прямой $CK$ и серединного перпендикуляра к $AC$.

Построение:

1. Построим прямоугольный треугольник $AKC$ по гипотенузе $AC=a$ и катету $AK=h_b$. Для этого:
   1. Проведем прямую и отложим отрезок $AC$ длиной $a$.
   2. Построим окружность с центром в $A$ и радиусом $h_b$.
   3. Построим окружность с диаметром $AC$.
   4. Точка $K$ — одна из точек пересечения этих окружностей.
2. Проведем прямую через точки $C$ и $K$.
3. Построим серединный перпендикуляр $m$ к отрезку $AC$.
4. Точка пересечения прямой $CK$ и перпендикуляра $m$ — это искомая вершина $B$.
5. Соединим точки $A$, $B$ и $C$.

Доказательство: В построенном треугольнике $ABC$ основание $AC$ равно $a$ по построению. Вершина $B$ лежит на серединном перпендикуляре к $AC$, поэтому $AB=BC$, и $\triangle ABC$ — равнобедренный. По построению, $AK \perp CK$. Так как точки $B, K, C$ лежат на одной прямой, то $AK \perp BC$. Значит, $AK$ — высота, проведенная к боковой стороне $BC$, и ее длина равна $h_b$. Следовательно, построенный треугольник удовлетворяет всем условиям.

Ответ: Треугольник $ABC$ является искомым.

674. Периметр треугольника равен 87 см, одна из сторон – $a$ см, другая – $b$ см. Составьте выражение для нахождения третьей стороны. Вычислите длину третьей стороны, если $a = 27, b = 21$.