Номер 679, страница 170 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 23. Задачи на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 679, страница 170.

679. Постройте прямоугольный треугольник:

1) по острому углу и биссектрисе этого угла;

2) по катету и высоте, проведённой к гипотенузе.

1) по острому углу и биссектрисе этого угла

Пусть дан острый угол $\alpha$ и отрезок $l$ – длина его биссектрисы. Требуется построить прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$, у которого один из острых углов, например $\angle A$, равен $\alpha$, а его биссектриса $AL$ равна $l$.

Анализ:
Рассмотрим искомый треугольник $ABC$. $AL$ – биссектриса угла $A$, значит $\angle CAL = \angle LAB = \alpha/2$. Рассмотрим треугольник $ACL$. В нем $\angle C = 90^\circ$, гипотенуза $AL=l$ и острый угол $\angle CAL = \alpha/2$. Такой треугольник можно построить по гипотенузе и острому углу. Построив его, мы найдем вершины $A$ и $C$, а также точку $L$ на катете $BC$. Вершина $B$ лежит на пересечении луча $AB$ (который образует угол $\alpha$ с лучом $AC$) и прямой $CL$.

Построение:
1. Построим угол, равный данному углу $\alpha$. Пусть его вершина – точка $A$.
2. Построим биссектрису этого угла. Мы получим два угла, равных $\alpha/2$.
3. На биссектрисе отложим от вершины $A$ отрезок $AL$, равный данной длине $l$.
4. Из точки $L$ опустим перпендикуляр $LC$ на одну из сторон угла. Точка $C$ – основание перпендикуляра – будет вершиной прямого угла искомого треугольника.
5. Проведем прямую через точки $C$ и $L$.
6. Эта прямая пересечет вторую сторону угла $\alpha$ в точке $B$.
7. Треугольник $ABC$ – искомый.

Доказательство:
В построенном треугольнике $ABC$: $\angle C = 90^\circ$ по построению (так как $LC \perp AC$). Угол $\angle A$ равен данному углу $\alpha$ по построению. Отрезок $AL$ является биссектрисой угла $A$ по построению, и его длина равна $l$. Следовательно, треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Построение описано и доказано выше.

2) по катету и высоте, проведённой к гипотенузе

Пусть дан отрезок $a$ – длина катета и отрезок $h$ – длина высоты, проведенной к гипотенузе. Требуется построить прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$, у которого катет $BC$ равен $a$, а высота $CD$ (где $D$ – точка на гипотенузе $AB$) равна $h$.

Анализ:
Рассмотрим искомый треугольник $ABC$. Высота $CD$ перпендикулярна гипотенузе $AB$. Рассмотрим треугольник $CDB$. Он прямоугольный, так как $\angle CDB = 90^\circ$. В этом треугольнике нам известны гипотенуза $BC=a$ и катет $CD=h$. Такой треугольник можно построить. Построив его, мы найдем вершины $C$ и $B$, а также точку $D$ на гипотенузе. Вершина $A$ лежит на прямой $BD$. Также, так как $\angle ACB = 90^\circ$, то $AC \perp BC$. Значит, вершина $A$ лежит на прямой, проходящей через $C$ и перпендикулярной $BC$. Таким образом, $A$ – точка пересечения этих двух прямых. Заметим, что построение возможно только при условии $a > h$, так как гипотенуза в прямоугольном треугольнике ($BC$ в $\triangle CDB$) всегда больше катета ($CD$).

Построение:
1. Построим прямоугольный треугольник $CDB$ по гипотенузе $BC=a$ и катету $CD=h$. Для этого:
а) Проведем прямую и отметим на ней точку $D$.
б) Восставим в точке $D$ перпендикуляр к этой прямой и отложим на нем отрезок $CD$, равный $h$.
в) Проведем окружность с центром в точке $C$ и радиусом $a$.
г) Точка пересечения окружности и прямой, проведенной в пункте (а), будет вершиной $B$.
2. Проведем прямую через точки $B$ и $D$. Эта прямая будет содержать гипотенузу искомого треугольника.
3. Проведем прямую через точку $C$ перпендикулярно отрезку $BC$.
4. Точка пересечения прямых из пунктов 2 и 3 будет вершиной $A$.
5. Треугольник $ABC$ – искомый.

Доказательство:
В построенном треугольнике $ABC$: $\angle ACB = 90^\circ$ по построению (так как $AC \perp BC$). Катет $BC$ равен $a$ по построению. Отрезок $CD$ является высотой, так как $CD \perp AB$ по построению, и его длина равна $h$. Следовательно, треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Построение описано и доказано выше.

679. В треугольниках $\triangle ABC$ и $\triangle MKE$ известно, что $AB = MK$, $BC = KE$, $\angle B = \angle K$. На отрезке $AB$ отметили точку $F$, а на отрезке $MK$ – точку $P$ так, что $\angle ACF = \angle MEP$. Какова длина отрезка $CF$, если $PE = 15$ см?