Номер 683, страница 170 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 23. Задачи на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 683, страница 170.

683. Постройте треугольник по стороне, медиане, проведённой к одной из двух других сторон, и углу между данной стороной и медианой.

Для решения задачи выполним последовательно анализ, построение, доказательство и исследование.

Анализ

Пусть искомый треугольник $ABC$ построен. Согласно условию, нам известны:

• длина одной из сторон, например, $AC = s$;
• длина медианы, проведенной к одной из двух других сторон, например, медианы $CM_c$ к стороне $AB$, $CM_c = m$;
• угол между данной стороной и данной медианой, то есть $\angle ACM_c = \alpha$.

Рассмотрим треугольник $ACM_c$. В этом треугольнике нам известны длины двух сторон ($AC = s$ и $CM_c = m$) и угол между ними ($\angle ACM_c = \alpha$). По двум сторонам и углу между ними треугольник можно построить однозначно.

После построения треугольника $ACM_c$ у нас будут определены вершины $A$ и $C$, а также точка $M_c$, которая является серединой стороны $AB$ искомого треугольника $ABC$.

Зная положение точек $A$ и $M_c$, мы можем найти третью вершину $B$. Точка $B$ должна лежать на прямой $AM_c$ так, чтобы $M_c$ была серединой отрезка $AB$. Это означает, что точка $B$ является результатом продления отрезка $AM_c$ за точку $M_c$ на его собственную длину ($M_cB = AM_c$).

Таким образом, задача сводится к построению вспомогательного треугольника $ACM_c$ и последующему нахождению вершины $B$.

Построение

Пусть даны отрезок $s$ (длина стороны), отрезок $m$ (длина медианы) и угол $\alpha$.

1. Построим угол, равный данному углу $\alpha$. Обозначим его вершину буквой $C$.
2. На одной из сторон угла отложим от вершины $C$ отрезок $CA$, равный по длине отрезку $s$.
3. На другой стороне угла отложим от вершины $C$ отрезок $CM_c$, равный по длине отрезку $m$.
4. Соединим точки $A$ и $M_c$. В результате будет построен треугольник $ACM_c$.
5. Проведем луч с началом в точке $A$, проходящий через точку $M_c$.
6. На этом луче отложим от точки $M_c$ отрезок $M_cB$, равный по длине отрезку $AM_c$.
7. Соединим точки $B$ и $C$.

Треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

Проверим, что построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

1. Сторона $AC$ построена равной данному отрезку $s$ (согласно шагу 2 построения).

2. Отрезок $CM_c$ по построению имеет длину, равную данному отрезку $m$ (шаг 3). Точки $A$, $M_c$ и $B$ лежат на одной прямой, и по построению $AM_c = M_cB$ (шаг 6). Следовательно, точка $M_c$ является серединой стороны $AB$. Таким образом, отрезок $CM_c$ является медианой треугольника $ABC$, проведенной к стороне $AB$.

3. Угол между стороной $AC$ и медианой $CM_c$, $\angle ACM_c$, построен равным данному углу $\alpha$ (шаг 1).

Все условия задачи выполнены, следовательно, треугольник $ABC$ является искомым.

Исследование

Задача о построении треугольника $ACM_c$ по двум сторонам ($s$ и $m$) и углу между ними ($\alpha$) имеет единственное решение тогда и только тогда, когда длины отрезков $s$ и $m$ положительны ($s > 0, m > 0$), а угол $\alpha$ находится в пределах от $0^\circ$ до $180^\circ$ ($0^\circ < \alpha < 180^\circ$).

Все последующие шаги построения (проведение луча, откладывание отрезка) выполняются однозначно. Следовательно, при выполнении указанных условий задача имеет единственное решение.

Следует отметить, что условие "медиане, проведённой к одной из двух других сторон" допускает второй симметричный случай: когда дана сторона $AC$, но медиана проведена из вершины $A$ к стороне $BC$ ($AM_a=m$), а угол дан между $AC$ и $AM_a$ ($\angle CAM_a=\alpha$). Алгоритм построения в этом случае будет аналогичным: сначала строится вспомогательный треугольник $AM_aC$, а затем находится вершина $B$ на продолжении отрезка $CM_a$ за точку $M_a$ на расстояние, равное $CM_a$.

Ответ: Построение основано на методе вспомогательного треугольника. Сначала по данной стороне ($s$), данной медиане ($m$) и данному углу между ними ($\alpha$) строится вспомогательный треугольник ($ACM_c$). Затем, используя свойство медианы (то, что она делит противоположную сторону пополам), на луче $AM_c$ находится третья вершина $B$ так, что $AM_c = M_cB$. Полученный треугольник $ABC$ является искомым. Задача имеет единственное решение, если $s>0, m>0$ и $0^\circ < \alpha < 180^\circ$.

683. На рисунке 340 $AB = BC, AD = FC, \angle ADE = \angle CFE$. Докажите, что точка $E$ – середина отрезка $AC$.

Рис. 340