Номер 687, страница 171 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 23. Задачи на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 687, страница 171.

687. Постройте треугольник по высоте и двум углам, которые эта высота образует со сторонами треугольника, имеющими с высотой общую вершину. Сколько решений может иметь задача?

Дано:

Отрезок $h$, задающий длину высоты треугольника. Два угла, $\alpha$ и $\beta$, которые эта высота образует с прилежащими к ней сторонами.

Построение и доказательство:

Для построения искомого треугольника $ABC$ с высотой $BH = h$, где $\angle ABH = \alpha$ и $\angle CBH = \beta$, выполним следующие шаги:

1. Проведем произвольную прямую $a$. Эта прямая будет содержать основание искомого треугольника.
2. Выберем на прямой $a$ произвольную точку $H$, которая будет основанием высоты.
3. Через точку $H$ проведем прямую $b$, перпендикулярную прямой $a$.
4. На прямой $b$ отложим отрезок $HB$ длиной, равной $h$. Точка $B$ — это вершина треугольника, из которой проведена высота.
5. От луча $HB$ построим два луча $BA$ и $BC$ под заданными углами $\alpha$ и $\beta$. Существует два принципиально разных способа это сделать, что приводит к разным решениям.

Случай 1: Построение остроугольного или тупоугольного треугольника (с тупым углом при вершине B)

В этом случае углы откладываются в разные стороны от высоты:

6. От луча $HB$ в одну из полуплоскостей относительно прямой $b$ отложим угол, равный $\alpha$. Проведем луч $BA$, который пересечет прямую $a$ в точке $A$.
7. От луча $HB$ в другую полуплоскость отложим угол, равный $\beta$. Проведем луч $BC$, который пересечет прямую $a$ в точке $C$.
8. Соединив точки $A$, $B$ и $C$, получим искомый треугольник $ABC$. В этом треугольнике точка $H$ лежит между $A$ и $C$.

Случай 2: Построение тупоугольного треугольника (с тупым углом при основании)

В этом случае оба угла откладываются в одну сторону от высоты. Это возможно, только если $\alpha \neq \beta$.

6. От луча $HB$ в одну из полуплоскостей относительно прямой $b$ отложим угол, равный $\alpha$. Проведем луч $BA$, который пересечет прямую $a$ в точке $A$.
7. В ту же самую полуплоскость от луча $HB$ отложим угол, равный $\beta$. Проведем луч $BC$, который пересечет прямую $a$ в точке $C$.
8. Соединив точки $A$, $B$ и $C$, получим искомый треугольник $ABC$. В этом треугольнике (если, например, $\alpha > \beta$) точка $C$ будет лежать между $A$ и $H$.

Доказательство: В обоих случаях в построенном треугольнике $ABC$ отрезок $BH$ по построению перпендикулярен прямой $a$, на которой лежат вершины $A$ и $C$. Следовательно, $BH$ является высотой. Длина высоты $BH$ равна $h$ по построению. Углы, которые высота образует с прилежащими сторонами $BA$ и $BC$, равны $\alpha$ и $\beta$ по построению. Таким образом, построенный треугольник удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Алгоритм построения треугольника, удовлетворяющего заданным условиям, представлен выше. Он включает в себя два возможных случая расположения углов относительно высоты.

Анализ количества решений:

Количество возможных решений задачи зависит от значений углов $\alpha$ и $\beta$.

Для того чтобы построение было в принципе возможно, лучи $BA$ и $BC$ должны пересекать прямую $a$. В прямоугольных треугольниках $ABH$ и $CBH$ углы $\angle BAH$ и $\angle BCH$ должны быть больше нуля. Так как $\angle BAH = 90^\circ - \alpha$ и $\angle BCH = 90^\circ - \beta$, необходимо, чтобы $\alpha < 90^\circ$ и $\beta < 90^\circ$. Также по определению углы должны быть положительными. Таким образом, необходимым условием существования хотя бы одного решения является то, что оба угла $\alpha$ и $\beta$ должны быть острыми: $0 < \alpha < 90^\circ$ и $0 < \beta < 90^\circ$.

Проанализируем количество решений при выполнении этого условия:

• Если углы острые и равны ($0 < \alpha = \beta < 90^\circ$):
  • Построение по Случаю 1 дает один равнобедренный треугольник, так как $\triangle ABH = \triangle CBH$ по катету и острому углу.
  • Построение по Случаю 2 невозможно. Если $\alpha = \beta$, то лучи $BA$ и $BC$ совпадут, и вместо треугольника получится отрезок $BH$.
  • Следовательно, в этом случае существует только одно решение.
• Если углы острые и не равны ($0 < \alpha < 90^\circ, 0 < \beta < 90^\circ, \alpha \neq \beta$):
  • Построение по Случаю 1 дает один (разносторонний) треугольник. Это первое решение.
  • Построение по Случаю 2 также возможно, так как $\alpha \neq \beta$ означает, что лучи $BA$ и $BC$ не совпадут. Это построение дает второй, тупоугольный, треугольник, не конгруэнтный первому. Это второе решение.
  • Следовательно, в этом случае существует два решения.
• Если хотя бы один из углов не является острым ($\alpha \ge 90^\circ$ или $\beta \ge 90^\circ$):
  • Соответствующая сторона не пересечет прямую $a$ (будет ей параллельна или расходиться). Треугольник построить невозможно.
  • В этом случае задача не имеет решений.

Ответ: Задача может иметь ноль, одно или два решения. А именно:
• 0 решений, если хотя бы один из заданных углов не является острым.
• 1 решение, если оба угла острые и равны друг другу.
• 2 решения, если оба угла острые, но не равны друг другу.

687. Точка $O$ – точка пересечения серединных перпендикуляров сторон $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ – принадлежит его стороне $AB$.

Докажите, что:

1) точка $O$ – середина отрезка $AB$;

2) $\angle ACB = \angle A + \angle B$.