Номер 694, страница 171 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 23. Задачи на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 694, страница 171.

694. Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и радиусу вписанной окружности.

Анализ

Пусть искомый треугольник $ABC$ построен. Нам известны сторона $BC$ (длиной $a$), прилежащий к ней угол $\angle B$ (величиной $\beta$) и радиус вписанной окружности $r$. Центр вписанной окружности (инцентр) $I$ обладает двумя важными свойствами:

1. Он равноудален от всех сторон треугольника на расстояние $r$. Это означает, что инцентр $I$ находится на прямой, параллельной стороне $BC$ и отстоящей от нее на расстояние $r$.
2. Он является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Следовательно, $I$ лежит на биссектрисе угла $\angle B$.

Таким образом, мы можем однозначно определить положение инцентра $I$ как точку пересечения двух геометрических мест точек: прямой, параллельной $BC$ на расстоянии $r$, и биссектрисы угла $\angle B$. После нахождения инцентра $I$ мы можем построить вписанную окружность. Стороны $AB$ и $AC$ являются касательными к этой окружности, проведенными из вершин $B$ и $C$. Прямая, содержащая сторону $AB$, уже определена (она образует угол $\beta$ со стороной $BC$). Прямая, содержащая сторону $AC$, будет второй касательной, проведенной из точки $C$ к построенной вписанной окружности. Точка $A$ — это точка пересечения этих двух прямых. На основе этого анализа можно составить план построения.

Построение

Пусть даны отрезок, равный стороне $a$, угол, равный $\beta$, и отрезок, равный радиусу $r$.

1. Построим прямую и отложим на ней отрезок $BC$, равный $a$.
2. Построим прямую $m$, параллельную прямой $BC$ и находящуюся на расстоянии $r$ от нее (в одной из полуплоскостей).
3. От луча $BC$ в ту же полуплоскость отложим угол $\angle CBE$, равный $\beta$. Луч $BE$ содержит сторону $AB$ будущего треугольника.
4. Построим биссектрису $BF$ угла $\angle CBE$.
5. Найдем точку $I$ — точку пересечения биссектрисы $BF$ и прямой $m$. Эта точка является центром вписанной окружности.
6. Построим окружность $\omega$ с центром в точке $I$ и радиусом $r$.
7. Построим касательную к окружности $\omega$ из точки $C$, отличную от прямой $BC$. Для этого:
   • На отрезке $IC$ как на диаметре построим вспомогательную окружность.
   • Эта окружность пересечет окружность $\omega$ в двух точках. Одна из них — точка касания со стороной $BC$. Обозначим вторую точку пересечения как $K$.
   • Проведем прямую $CK$. Эта прямая содержит сторону $AC$ треугольника.
8. Точка пересечения прямых $BE$ и $CK$ является искомой вершиной $A$.
9. Треугольник $ABC$ построен.

Доказательство

По построению, в полученном треугольнике $ABC$ сторона $BC = a$ и $\angle B = \beta$. Докажем, что $r$ является радиусом его вписанной окружности. Окружность $\omega$ с центром $I$ и радиусом $r$ касается стороны $BC$, так как расстояние от $I$ до $BC$ равно $r$ (по построению). Точка $I$ лежит на биссектрисе угла $\angle B$, поэтому она равноудалена от его сторон $BC$ и $BE$ (на которой лежит $AB$). Следовательно, окружность $\omega$ касается стороны $AB$. Прямая $AC$ (проходящая через $CK$) построена как касательная к окружности $\omega$. Следовательно, окружность $\omega$ касается стороны $AC$. Так как окружность $\omega$ касается всех трех сторон треугольника $ABC$, она является его вписанной окружностью, и ее радиус равен $r$. Таким образом, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: План построения и его доказательство приведены выше. Треугольник, построенный согласно этому плану, будет искомым.

694. На сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ отметили соответственно точки $M$ и $K$ так, что $\angle AMK = \angle ABC$. Докажите, что $\angle AKM = \angle ACB$.