Номер 699, страница 171 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 23. Задачи на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 699, страница 171.

699. В треугольнике $ABC$ $AB = BC$, отрезки $AE$ и $CF$ – биссектрисы этого треугольника. Докажите, что $EF \parallel AC$.

Поскольку по условию в треугольнике $ABC$ стороны $AB = BC$, данный треугольник является равнобедренным с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $∠BAC = ∠BCA$.

Рассмотрим треугольники $ΔAEC$ и $ΔCFA$.

1. Сторона $AC$ у них является общей.

2. Так как $AE$ – биссектриса угла $∠BAC$, то $∠EAC = \frac{1}{2} ∠BAC$. Аналогично, так как $CF$ – биссектриса угла $∠BCA$, то $∠FCA = \frac{1}{2} ∠BCA$. Поскольку углы $∠BAC$ и $∠BCA$ равны, то равны и их половины, то есть $∠EAC = ∠FCA$.

3. Также нам известно, что $∠ECA = ∠BCA$ и $∠FAC = ∠BAC$. Так как $∠BCA = ∠BAC$, то и $∠ECA = ∠FAC$.

Таким образом, треугольники $ΔAEC$ и $ΔCFA$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников ($ΔAEC ≅ ΔCFA$) следует равенство их соответствующих сторон: $AF = CE$.

По условию задачи $AB = BC$. Вычтем из равных сторон $AB$ и $BC$ равные отрезки $AF$ и $CE$ соответственно: $AB - AF = BC - CE$. Так как точка $F$ лежит на стороне $AB$, а точка $E$ – на стороне $BC$, то $AB - AF = BF$ и $BC - CE = BE$. Следовательно, мы получаем, что $BF = BE$.

Равенство отрезков $BF$ и $BE$ означает, что треугольник $FBE$ является равнобедренным с основанием $FE$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $∠BFE = ∠BEF$.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ угол при основании $∠BAC$ можно выразить через угол при вершине $∠B$: $∠BAC = \frac{180° - ∠B}{2}$.

Аналогично, в равнобедренном треугольнике $FBE$ угол при основании $∠BFE$ можно выразить через угол при вершине $∠B$: $∠BFE = \frac{180° - ∠B}{2}$.

Сравнивая полученные выражения, мы видим, что $∠BFE = ∠BAC$.

Углы $∠BFE$ и $∠BAC$ являются соответственными при пересечении прямых $EF$ и $AC$ секущей $AB$. Так как эти соответственные углы равны, то прямые $EF$ и $AC$ параллельны, что и требовалось доказать.

Ответ: $EF \parallel AC$.

699. На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отметили точки $M$ и $K$ (точка $M$ лежит между точками $B$ и $K$) так, что $\angle KAC = \angle B$, $\angle BAM = \angle C$. Докажите, что $\triangle MAK$ – равнобедренный.