Номер 701, страница 172 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 23. Задачи на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 701, страница 172.

701. Серединный перпендикуляр гипотенузы $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ пересекает катет $BC$ в точке $M$. Известно, что $\angle MAC : \angle MAB = 8 : 5$. Найдите острые углы треугольника $ABC$.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$ ($\angle C = 90^\circ$). $AB$ — гипотенуза, $BC$ и $AC$ — катеты.

Пусть серединный перпендикуляр к гипотенузе $AB$ пересекает катет $BC$ в точке $M$.

По свойству серединного перпендикуляра, любая точка, лежащая на нем, равноудалена от концов отрезка. Так как точка $M$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$, то она равноудалена от точек $A$ и $B$. Это означает, что $MA = MB$.

Рассмотрим треугольник $AMB$. Поскольку $MA = MB$, этот треугольник является равнобедренным с основанием $AB$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle MAB = \angle MBA$.

Угол $\angle MBA$ является острым углом $B$ треугольника $ABC$. Таким образом, $\angle MAB = \angle B$.

По условию задачи известно, что $\angle MAC : \angle MAB = 8 : 5$. Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда можно записать, что $\angle MAC = 8x$ и $\angle MAB = 5x$.

Из равенства $\angle MAB = \angle B$ следует, что $\angle B = 5x$.

Острый угол $A$ треугольника $ABC$ (то есть $\angle CAB$) равен сумме углов $\angle MAC$ и $\angle MAB$:
$\angle A = \angle CAB = \angle MAC + \angle MAB = 8x + 5x = 13x$.

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Для треугольника $ABC$ это означает: $\angle A + \angle B = 90^\circ$.

Подставим выражения для углов $A$ и $B$ через $x$ в это уравнение: $13x + 5x = 90^\circ$

$18x = 90^\circ$

$x = \frac{90^\circ}{18} = 5^\circ$

Теперь найдем величины острых углов треугольника $ABC$:
$\angle A = 13x = 13 \cdot 5^\circ = 65^\circ$
$\angle B = 5x = 5 \cdot 5^\circ = 25^\circ$

Ответ: острые углы треугольника $ABC$ равны $25^\circ$ и $65^\circ$.

701. На стороне $AC$ треугольника $ABC$ отметили точку $O$ так, что $AB = AO$.
Известно, что внешний угол треугольника $ABC$ при вершине $A$ равен $160^\circ$ и $\angle C = 40^\circ$. Докажите, что $BO = CO$.