Страница 172 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

701. Серединный перпендикуляр гипотенузы $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ пересекает катет $BC$ в точке $M$. Известно, что $\angle MAC : \angle MAB = 8 : 5$. Найдите острые углы треугольника $ABC$.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$ ($\angle C = 90^\circ$). $AB$ — гипотенуза, $BC$ и $AC$ — катеты.

Пусть серединный перпендикуляр к гипотенузе $AB$ пересекает катет $BC$ в точке $M$.

По свойству серединного перпендикуляра, любая точка, лежащая на нем, равноудалена от концов отрезка. Так как точка $M$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$, то она равноудалена от точек $A$ и $B$. Это означает, что $MA = MB$.

Рассмотрим треугольник $AMB$. Поскольку $MA = MB$, этот треугольник является равнобедренным с основанием $AB$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle MAB = \angle MBA$.

Угол $\angle MBA$ является острым углом $B$ треугольника $ABC$. Таким образом, $\angle MAB = \angle B$.

По условию задачи известно, что $\angle MAC : \angle MAB = 8 : 5$. Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда можно записать, что $\angle MAC = 8x$ и $\angle MAB = 5x$.

Из равенства $\angle MAB = \angle B$ следует, что $\angle B = 5x$.

Острый угол $A$ треугольника $ABC$ (то есть $\angle CAB$) равен сумме углов $\angle MAC$ и $\angle MAB$:
$\angle A = \angle CAB = \angle MAC + \angle MAB = 8x + 5x = 13x$.

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Для треугольника $ABC$ это означает: $\angle A + \angle B = 90^\circ$.

Подставим выражения для углов $A$ и $B$ через $x$ в это уравнение: $13x + 5x = 90^\circ$

$18x = 90^\circ$

$x = \frac{90^\circ}{18} = 5^\circ$

Теперь найдем величины острых углов треугольника $ABC$:
$\angle A = 13x = 13 \cdot 5^\circ = 65^\circ$
$\angle B = 5x = 5 \cdot 5^\circ = 25^\circ$

Ответ: острые углы треугольника $ABC$ равны $25^\circ$ и $65^\circ$.

701. На стороне $AC$ треугольника $ABC$ отметили точку $O$ так, что $AB = AO$.
Известно, что внешний угол треугольника $ABC$ при вершине $A$ равен $160^\circ$ и $\angle C = 40^\circ$. Докажите, что $BO = CO$.

702. Внешний угол треугольника больше одного из углов треугольника, не смежного с ним:

1) на $60^{\circ}$, а другого – на $40^{\circ}$;

2) на $25^{\circ}$, а другого – на $35^{\circ}$.

Определите вид треугольника.

1) Пусть внутренние углы треугольника равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. По свойству внешнего угла треугольника, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Пусть $\delta$ — внешний угол при вершине с углом $\gamma$. Тогда $\delta = \alpha + \beta$.
По условию задачи, внешний угол больше одного из не смежных с ним углов (например, $\alpha$) на $60^{\circ}$, а другого (угла $\beta$) — на $40^{\circ}$. Это можно записать в виде системы уравнений:
$\delta = \alpha + 60^{\circ}$
$\delta = \beta + 40^{\circ}$
Так как $\delta = \alpha + \beta$, подставим это выражение в каждое из уравнений:
$\alpha + \beta = \alpha + 60^{\circ}$
$\alpha + \beta = \beta + 40^{\circ}$
Из первого уравнения находим угол $\beta$:
$\beta = 60^{\circ}$
Из второго уравнения находим угол $\alpha$:
$\alpha = 40^{\circ}$
Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$. Найдем третий угол $\gamma$:
$\gamma = 180^{\circ} - (\alpha + \beta) = 180^{\circ} - (40^{\circ} + 60^{\circ}) = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}$
Углы треугольника равны $40^{\circ}$, $60^{\circ}$ и $80^{\circ}$. Все углы острые (меньше $90^{\circ}$), следовательно, треугольник является остроугольным.
Ответ: остроугольный.

2) Действуем аналогично первому пункту. Пусть внутренние углы равны $\alpha$ и $\beta$, а $\delta$ — внешний угол, не смежный с ними. Тогда $\delta = \alpha + \beta$.
По условию:
$\delta = \alpha + 25^{\circ}$
$\delta = \beta + 35^{\circ}$
Подставляя $\delta = \alpha + \beta$, получаем систему:
$\alpha + \beta = \alpha + 25^{\circ}$
$\alpha + \beta = \beta + 35^{\circ}$
Из первого уравнения находим угол $\beta$:
$\beta = 25^{\circ}$
Из второго уравнения находим угол $\alpha$:
$\alpha = 35^{\circ}$
Найдем третий угол $\gamma$:
$\gamma = 180^{\circ} - (\alpha + \beta) = 180^{\circ} - (35^{\circ} + 25^{\circ}) = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$
Углы треугольника равны $25^{\circ}$, $35^{\circ}$ и $120^{\circ}$. Так как один из углов ($120^{\circ}$) больше $90^{\circ}$, треугольник является тупоугольным.
Ответ: тупоугольный.

702. На продолжениях стороны $AC$ треугольника $ABC$ за точки $A$ и $C$ отметили соответственно точки $M$ и $K$ так, что $AM = AB$, $CK = BC$.

Найдите углы треугольника $MBK$, если $\angle BAC = 60^\circ$, $\angle ACB = 80^\circ$.

703. На листе бумаги нарисовали равносторонний треугольник и полностью накрыли его двумя другими равносторонними треугольниками разных размеров. Докажите, что для покрытия хватило бы одного из этих треугольников.

Обозначим исходный равносторонний треугольник как $T$, а его вершины — $A$, $B$ и $C$. Пусть длина стороны треугольника $T$ равна $a$.

По условию, треугольник $T$ полностью накрыт двумя другими равносторонними треугольниками, $T_1$ и $T_2$. Обозначим длины их сторон как $a_1$ и $a_2$ соответственно. То, что $T$ полностью накрыт $T_1$ и $T_2$, означает, что любая точка треугольника $T$ принадлежит хотя бы одному из треугольников $T_1$ или $T_2$. Математически это можно записать как $T \subseteq T_1 \cup T_2$.

Рассмотрим три вершины треугольника $T$: $A, B, C$. Так как они являются точками треугольника $T$, каждая из них должна находиться либо в треугольнике $T_1$, либо в треугольнике $T_2$.

Здесь мы можем применить принцип Дирихле (также известный как принцип ящиков). У нас есть три вершины («голубя») и два треугольника, в которых они могут располагаться («ящика»). Согласно этому принципу, по крайней мере два «голубя» должны оказаться в одном «ящике». Это означает, что как минимум две вершины треугольника $T$ должны принадлежать одному и тому же накрывающему треугольнику (либо $T_1$, либо $T_2$).

Допустим, без ограничения общности, что вершины $A$ и $B$ обе находятся в треугольнике $T_1$. Расстояние между точками $A$ и $B$ равно длине стороны треугольника $T$, то есть $|AB| = a$.

Любой равносторонний треугольник является выпуклой фигурой. Наибольшее расстояние между любыми двумя точками выпуклой фигуры называется её диаметром. Для многоугольника диаметр равен наибольшему расстоянию между его вершинами. В случае равностороннего треугольника со стороной $s$ его диаметр равен $s$. Таким образом, диаметр треугольника $T_1$ равен его стороне $a_1$.

Поскольку точки $A$ и $B$ принадлежат треугольнику $T_1$, расстояние между ними не может превышать диаметр этого треугольника. Следовательно, $|AB| \le a_1$, что означает $a \le a_1$.

Если сторона треугольника $T$ не больше стороны треугольника $T_1$ ($a \le a_1$), то треугольник $T_1$ может полностью покрыть треугольник $T$. Для этого достаточно совместить одну из вершин $T_1$ с вершиной $T$ и две из сторон, выходящих из этих вершин.

Таким образом, если две вершины $T$ лежат в $T_1$, то $T_1$ сам по себе достаточен для покрытия $T$.

Аналогично, если бы две вершины (например, $B$ и $C$) оказались в треугольнике $T_2$, мы бы получили, что $|BC| \le a_2$, или $a \le a_2$. В этом случае треугольник $T_2$ был бы достаточен для покрытия $T$.

Поскольку по принципу Дирихле по крайней мере две вершины исходного треугольника всегда окажутся в одном из накрывающих треугольников, то хотя бы один из этих двух треугольников ($T_1$ или $T_2$) будет иметь сторону не меньшую, чем у исходного треугольника $T$. Это и доказывает, что одного из этих треугольников хватило бы для покрытия.

Ответ: Утверждение доказано. Как минимум две вершины исходного треугольника должны попасть в один из накрывающих треугольников. Это означает, что сторона этого накрывающего треугольника не меньше стороны исходного, и, следовательно, его одного достаточно для покрытия.

703. Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC$, пересекает его стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $K$ соответственно так, что $AM = MK$. Известно, что $\angle B = 65^\circ$, $\angle C = 45^\circ$. Найдите угол $KAC$.