Страница 169 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. С помощью каких инструментов выполняют геометрические построения? Какие построения можно ими выполнять?

С помощью каких инструментов выполняют геометрические построения?

Классические геометрические построения на плоскости, также известные как построения циркулем и линейкой, выполняются с помощью всего двух инструментов:

1. Линейка без делений (прямой край). Этот инструмент позволяет провести прямую линию через две любые заданные точки. Важно подчеркнуть, что линейка не имеет шкалы, поэтому ею нельзя измерять расстояние или откладывать отрезки определённой длины.

2. Циркуль. Этот инструмент позволяет выполнить два основных действия:
- Начертить окружность (или её часть — дугу) с центром в заданной точке и заданным радиусом.
- Отложить отрезок, равный данному, от любой точки на прямой или окружности (путём измерения расстояния между двумя точками "раствором" циркуля и последующего его применения).

Все построения в евклидовой геометрии основаны на аксиомах, которые соответствуют возможностям именно этих двух инструментов.

Ответ: Геометрические построения выполняют с помощью циркуля и линейки без делений.

Какие построения можно ими выполнять?

С помощью циркуля и линейки можно выполнить все построения, аналитическое решение которых сводится к выполнению четырёх арифметических действий (сложение, вычитание, умножение, деление) и извлечению квадратного корня. На практике это выливается в ряд основных (элементарных) построений, на основе которых решаются более сложные задачи.

К основным построениям относятся:

- Построение отрезка, равного данному, на заданной прямой от заданной точки.

- Построение суммы и разности двух отрезков.

- Деление отрезка пополам (построение серединного перпендикуляра).

- Деление отрезка на $n$ равных частей (теорема Фалеса).

- Построение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной прямой.

- Построение прямой, проходящей через данную точку и параллельной данной прямой.

- Построение угла, равного данному.

- Построение биссектрисы угла (деление угла пополам).

- Построение правильных многоугольников, таких как равносторонний треугольник, квадрат, правильный пятиугольник, правильный шестиугольник и другие многоугольники, число сторон которых является числом Ферма или произведением различных чисел Ферма и степени двойки.

- Построение касательной к окружности, проходящей через данную точку.

При этом существуют и знаменитые "неразрешимые" задачи древности, которые невозможно решить с помощью только циркуля и линейки: трисекция угла (деление произвольного угла на три равные части), удвоение куба и квадратура круга.

Ответ: С помощью циркуля и линейки можно выполнять базовые построения, такие как копирование и деление отрезков и углов, построение перпендикулярных и параллельных прямых, а также построение некоторых правильных многоугольников и решение других задач, сводящихся к линейным и квадратным уравнениям.

1. С помощью каких инструментов выполняют геометрические построения? Какие построения можно ими выполнять?

2. Что значит решить задачу на построение?

Решить задачу на построение в геометрии означает не просто начертить фигуру, а выполнить полный, логически обоснованный процесс, который традиционно включает в себя четыре обязательных этапа:

• Анализ. Это подготовительный этап, на котором делается предположение, что задача уже решена и искомая фигура построена. Создается чертеж-набросок, на котором исследуются свойства этой гипотетической фигуры и её связи с данными в условии задачи. Цель анализа — выявить ключевые геометрические факты и зависимости, которые позволят составить план построения. По сути, это поиск пути от искомого к данным.

• Построение. На этом этапе, на основе выводов, сделанных в ходе анализа, составляется и описывается четкий, пошаговый алгоритм действий. Каждый шаг этого алгоритма должен представлять собой одно из элементарных построений, которые можно выполнить с помощью классических инструментов — циркуля и линейки без делений. Описание должно быть достаточно подробным, чтобы другой человек мог в точности воспроизвести построение.

• Доказательство. После того как фигура построена согласно алгоритму, необходимо строго доказать, что она действительно удовлетворяет всем требованиям, перечисленным в условии задачи. На этом этапе используются известные аксиомы, определения и теоремы геометрии, чтобы подтвердить, что построенный объект — именно тот, который требовалось найти.

• Исследование. Это заключительный этап, на котором определяется, при каких условиях на исходные данные задача вообще имеет решение, и сколько различных решений возможно. Например, при построении треугольника по трем сторонам $a, b, c$ исследование показывает, что задача имеет единственное (с точностью до конгруэнтности) решение только тогда, когда выполняется неравенство треугольника ($a+b>c$, $a+c>b$, $b+c>a$). Если это условие не выполнено, решений нет. Этот этап определяет, всегда ли задача разрешима и единственно ли ее решение.

Таким образом, решение задачи на построение — это исчерпывающее объяснение, включающее в себя план, его реализацию, доказательство правильности и анализ существования и количества решений.

Ответ: Решить задачу на построение — значит найти последовательность действий (алгоритм) с использованием циркуля и линейки, которая позволяет построить искомую фигуру; доказать, что построенная фигура удовлетворяет условиям задачи; и исследовать, при каких исходных данных задача имеет решение и сколько таких решений существует.

2. Что значит решить задачу на построение?

652. Начертите:

1) острый угол;

2) тупой угол.

Постройте угол, равный начерченному.

1) острый угол

Острый угол — это угол, градусная мера которого меньше 90 градусов ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$). Сначала начертим произвольный острый угол, например, $ \angle AOB $.

Далее, чтобы построить угол, равный начерченному, с помощью циркуля и линейки без делений, нужно выполнить следующие шаги:

1. Начертим произвольный луч $O'M$. Точка $O'$ будет вершиной нового угла, а луч $O'M$ — одной из его сторон.

2. Возьмем циркуль, установим его ножку в вершину исходного угла $O$ и проведем дугу произвольного радиуса $r$. Эта дуга пересечет стороны угла $OA$ и $OB$ в точках, которые мы назовем $C$ и $D$ соответственно.

3. Не изменяя раствор циркуля (то есть сохраняя радиус $r$), установим его ножку в точку $O'$ и проведем такую же дугу. Эта дуга пересечет луч $O'M$ в точке $C'$.

4. Теперь циркулем измерим расстояние между точками $C$ и $D$ на исходном угле. Для этого установим ножку циркуля в точку $C$, а грифель — в точку $D$.

5. Сохраняя полученный раствор циркуля, установим его ножку в точку $C'$ на луче $O'M$ и проведем новую дугу так, чтобы она пересекла дугу, построенную в шаге 3. Точку их пересечения назовем $D'$.

6. С помощью линейки соединим точку $O'$ и точку $D'$ и проведем луч $O'D'$.

В результате мы получили угол $ \angle MO'D' $ (также его можно назвать $ \angle C'O'D' $), который равен исходному острому углу $ \angle AOB $.

Ответ: Угол построен.

2) тупой угол

Тупой угол — это угол, градусная мера которого больше 90, но меньше 180 градусов ($90^\circ < \beta < 180^\circ$). Начертим произвольный тупой угол, например, $ \angle PQR $.

Алгоритм построения угла, равного начерченному тупому углу, полностью совпадает с алгоритмом для острого угла:

1. Проведем произвольный луч $Q'S$, который станет одной из сторон нового угла.

2. Установим ножку циркуля в вершину исходного угла $Q$ и проведем дугу произвольного радиуса, которая пересечет стороны угла $QP$ и $QR$ в точках $X$ и $Y$.

3. Не меняя радиус циркуля, установим его ножку в начало нового луча, точку $Q'$, и проведем такую же дугу. Точку пересечения этой дуги с лучом $Q'S$ обозначим $X'$.

4. Циркулем измерим расстояние между точками $X$ и $Y$.

5. Установим ножку циркуля в точку $X'$ и тем же раствором (равным расстоянию $XY$) проведем дугу, пересекающую дугу из шага 3. Точку пересечения обозначим $Y'$.

6. С помощью линейки проведем луч $Q'Y'$ из вершины $Q'$ через точку $Y'$.

Полученный угол $ \angle SQ'Y' $ будет равен исходному тупому углу $ \angle PQR $.

Ответ: Угол построен.

652. Постройте треугольник по стороне, противолежащему ей углу и разности двух других сторон.

653. Начертите острый угол $ABC$ и проведите луч $DK$. Постройте угол $MDK$, такой, что $\angle MDK = 2\angle ABC$.

Для построения угла $MDK$, величина которого в два раза больше величины острого угла $ABC$, необходимо выполнить следующую последовательность действий с помощью циркуля и линейки.

1. Начертите произвольный острый угол $\angle ABC$. Острый угол — это угол, градусная мера которого меньше $90^\circ$.

2. Рядом начертите луч $DK$. Этот луч будет одной из сторон искомого угла $MDK$.

3. Установите острие циркуля в вершину $B$ угла $ABC$ и проведите дугу произвольного радиуса, пересекающую стороны угла $BA$ и $BC$ в точках $P$ и $Q$ соответственно.

4. Не меняя раствор циркуля, переместите его острие в точку $D$ (начало луча $DK$) и проведите дугу такого же радиуса. Эта дуга пересечет луч $DK$ в точке, которую мы назовем $R$.

5. Измерьте циркулем расстояние между точками $P$ и $Q$.

6. Сохраняя измеренное расстояние $PQ$ как раствор циркуля, установите его острие в точку $R$ и проведите дугу так, чтобы она пересекла дугу, построенную из точки $D$. Точку пересечения обозначим $L$.

7. Проведите луч $DL$. Построенный угол $\angle LDK$ равен углу $\angle ABC$.

8. Теперь необходимо отложить от луча $DL$ еще один угол, равный $\angle ABC$. Для этого, не меняя раствор циркуля (равный $PQ$), установите его острие в точку $L$ и проведите еще одну дугу, которая пересечет большую дугу с центром в $D$ в новой точке. Назовем эту точку $M$.

9. Проведите луч $DM$.

В результате мы получили угол $\angle MDK$, который состоит из двух смежных углов $\angle LDK$ и $\angle MDL$. По построению, каждый из этих углов равен $\angle ABC$. Таким образом, $\angle MDK = \angle LDK + \angle MDL = \angle ABC + \angle ABC = 2\angle ABC$. Построение завершено.

Ответ: Искомый угол $\angle MDK$ построен согласно приведенному алгоритму.

653. Постройте треугольник по стороне, противолежащему ей углу и сумме двух других сторон.

654. Разделите данный отрезок на четыре равные части.

Чтобы разделить данный отрезок на четыре равные части с помощью циркуля и линейки, необходимо последовательно дважды применить построение для деления отрезка пополам. Этот метод основан на построении серединного перпендикуляра.

Пусть дан отрезок $AB$. Алгоритм построения следующий:

1. Находим середину отрезка $AB$.

   Из точек $A$ и $B$ как из центров проводим две дуги окружности одинакового радиуса $R$, который должен быть больше половины длины отрезка $AB$ ($R > \frac{1}{2}AB$). Эти дуги пересекутся в двух точках по разные стороны от отрезка. Соединив эти две точки прямой линией, мы получим серединный перпендикуляр к отрезку $AB$. Точка пересечения этого перпендикуляра с отрезком $AB$ является его серединой. Обозначим эту точку как $C$. Таким образом, мы разделили отрезок $AB$ на две равные части: $AC = CB$.

2. Находим середины отрезков $AC$ и $CB$.

   Теперь повторяем описанную выше процедуру для каждого из двух полученных отрезков.

   • Для отрезка $AC$: строим его серединный перпендикуляр. Из точек $A$ и $C$ проводим дуги равного радиуса (больше половины длины $AC$). Прямая, проходящая через точки пересечения дуг, пересечет отрезок $AC$ в его середине. Обозначим эту точку $D$.

   • Аналогично для отрезка $CB$: строим его серединный перпендикуляр, проводя дуги из точек $C$ и $B$. Точку пересечения с отрезком $CB$ обозначим $E$.

В результате на отрезке $AB$ мы получили три точки $D$, $C$ и $E$. Докажем, что они делят отрезок на четыре равные части.

По построению, $C$ — середина $AB$, значит, $AC = CB = \frac{1}{2}AB$.

Точка $D$ — середина $AC$, значит, $AD = DC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2}AB) = \frac{1}{4}AB$.

Точка $E$ — середина $CB$, значит, $CE = EB = \frac{1}{2}CB = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2}AB) = \frac{1}{4}AB$.

Следовательно, все четыре полученных отрезка равны: $AD = DC = CE = EB$. Задача решена.

Ответ: Исходный отрезок разделен на четыре равные части точками $D$, $C$ и $E$, полученными путем последовательного деления отрезков пополам.

654. Постройте треугольник по стороне, разности углов, прилежащих к этой стороне, и сумме двух других сторон.

655. Начертите произвольный угол. Разделите его на четыре равные части.

Для того чтобы разделить произвольный угол на четыре равные части, нужно последовательно применить построение биссектрисы угла с помощью циркуля и линейки. Биссектриса делит угол на две равные части. Чтобы получить четыре части, нужно выполнить это построение трижды.

Порядок действий:

1. Начертим произвольный угол, назовем его $\angle AOB$ с вершиной в точке $O$.

2. Построим биссектрису угла $\angle AOB$. Для этого из вершины $O$ проведем циркулем дугу, пересекающую стороны угла в точках $P$ и $Q$. Затем из точек $P$ и $Q$ проведем две дуги одинакового радиуса так, чтобы они пересеклись внутри угла в точке $C$. Луч $OC$ является биссектрисой угла $\angle AOB$, и теперь мы имеем два равных угла: $\angle AOC = \angle COB$.

3. Теперь необходимо разделить пополам каждый из двух новых углов.

4. Построим биссектрису угла $\angle AOC$. Обозначим точку пересечения луча $OC$ с первой дугой (той, что с центром в $O$) как $R$. Используя точки $P$ и $R$ на сторонах этого угла, аналогично шагу 2, строим его биссектрису — луч $OD$. Таким образом, $\angle AOD = \angle DOC$.

5. Построим биссектрису угла $\angle COB$. Используя точки $R$ и $Q$ на сторонах этого угла, строим его биссектрису — луч $OE$. Таким образом, $\angle COE = \angle EOB$.

Поскольку $\angle AOC = \angle COB$, то и их половины равны между собой. В результате лучи $OD$, $OC$ и $OE$ делят исходный угол $\angle AOB$ на четыре равных угла: $\angle AOD = \angle DOC = \angle COE = \angle EOB$.

Ответ: Сначала нужно разделить исходный угол пополам с помощью построения биссектрисы. Затем для каждого из двух получившихся равных углов нужно также построить биссектрису. В результате исходный угол будет разделен тремя построенными лучами на четыре равные части.

655. Постройте треугольник по периметру и двум углам.

656. Начертите:

1) остроугольный треугольник;

2) тупоугольный треугольник.

Постройте все высоты этого треугольника.

Остроугольный треугольник — это треугольник, у которого все три внутренних угла являются острыми (т.е. меньше $90^\circ$). Высота треугольника — это отрезок перпендикуляра, проведенного из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Для построения всех высот в остроугольном треугольнике $ABC$ выполним следующие действия:

1. Из вершины $A$ проводим перпендикуляр к стороне $BC$. Точку пересечения обозначаем $H_a$. Отрезок $AH_a$ является высотой.
2. Из вершины $B$ проводим перпендикуляр к стороне $AC$. Точку пересечения обозначаем $H_b$. Отрезок $BH_b$ является высотой.
3. Из вершины $C$ проводим перпендикуляр к стороне $AB$. Точку пересечения обозначаем $H_c$. Отрезок $CH_c$ является высотой.

На чертеже показан остроугольный треугольник $ABC$ и его высоты $AH_a$, $BH_b$ и $CH_c$.

Как видно из построения, в остроугольном треугольнике все три высоты пересекаются в одной точке (ортоцентр $H$), которая расположена внутри треугольника.

Ответ: Построение высот остроугольного треугольника показано на чертеже. Все высоты находятся внутри треугольника и пересекаются в одной точке.

Тупоугольный треугольник — это треугольник, у которого один из внутренних углов является тупым (т.е. больше $90^\circ$). Построение высот в таком треугольнике имеет свои особенности.

Для построения всех высот в тупоугольном треугольнике $ABC$, где $\angle C$ — тупой, выполним следующие действия:

1. Проводим высоту из вершины тупого угла $C$ к стороне $AB$. Основание высоты $H_c$ будет лежать на стороне $AB$. Эта высота находится внутри треугольника.
2. Для проведения высоты из вершины острого угла $A$, необходимо продлить противоположную сторону $BC$. Затем из точки $A$ опускаем перпендикуляр на прямую, содержащую $BC$. Точка пересечения $H_a$ будет лежать на продолжении стороны. Высота $AH_a$ находится вне треугольника.
3. Аналогично, для проведения высоты из вершины острого угла $B$, продлеваем сторону $AC$ и опускаем перпендикуляр из $B$ на прямую, содержащую $AC$. Точка пересечения $H_b$ будет лежать на продолжении стороны. Высота $BH_b$ также находится вне треугольника.

На чертеже показан тупоугольный треугольник $ABC$ ($\angle C > 90^\circ$) и его высоты. Пунктиром показаны продолжения сторон и высот.

В тупоугольном треугольнике прямые, содержащие высоты, также пересекаются в одной точке (ортоцентр $H$), но эта точка всегда находится вне треугольника.

Ответ: Построение высот тупоугольного треугольника показано на чертеже. Одна высота (из вершины тупого угла) лежит внутри треугольника, а две другие — снаружи. Прямые, содержащие высоты, пересекаются в одной точке вне треугольника.

656. Постройте остроугольный треугольник по периметру, одному из углов и высоте, проведённой из вершины другого угла.

657. Начертите треугольник $ABC$. Постройте его:

1) высоту $AM$;

2) медиану $BD$;

3) биссектрису $CK$.

Сначала необходимо начертить на плоскости произвольный треугольник $ABC$, отметив его вершины.

Для выполнения построений понадобятся циркуль и линейка без делений.

Высота треугольника – это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или её продолжение. Для построения высоты $AM$ из вершины $A$ к стороне $BC$ выполним следующие шаги:

1. Установим иглу циркуля в вершину $A$.
2. Начертим дугу так, чтобы она пересекла прямую, содержащую сторону $BC$, в двух точках. Назовём их $P_1$ и $P_2$. Если дуга не пересекает прямую $BC$, необходимо увеличить радиус циркуля.
3. Из точек $P_1$ и $P_2$, как из центров, проведём две дуги одинакового радиуса (больше половины длины отрезка $P_1P_2$) так, чтобы они пересеклись в точке $Q$.
4. С помощью линейки проведём прямую через точки $A$ и $Q$.
5. Точка пересечения этой прямой со стороной $BC$ (или её продолжением) и будет точкой $M$. Отрезок $AM$ является высотой треугольника $ABC$. По построению, $AM \perp BC$.

Ответ: Построен отрезок $AM$ — высота треугольника $ABC$, опущенная из вершины $A$ на сторону $BC$.

Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Для построения медианы $BD$ из вершины $B$ к стороне $AC$, сначала найдём середину стороны $AC$.

1. Установим иглу циркуля в вершину $A$ и проведём дугу с радиусом, который очевидно больше половины длины отрезка $AC$.
2. Не изменяя раствор циркуля, установим его иглу в вершину $C$ и проведём вторую дугу так, чтобы она пересекла первую в двух точках по обе стороны от отрезка $AC$.
3. Через две точки пересечения этих дуг проведём прямую с помощью линейки. Эта прямая является серединным перпендикуляром к отрезку $AC$.
4. Точка, в которой эта прямая пересекает сторону $AC$, является её серединой. Обозначим эту точку как $D$. Таким образом, $AD = DC$.
5. Соединим вершину $B$ с точкой $D$ с помощью линейки.

Ответ: Построен отрезок $BD$ — медиана треугольника $ABC$, проведённая из вершины $B$ к стороне $AC$.

Биссектриса угла треугольника – это отрезок, который делит соответствующий угол на два равных угла и соединяет вершину с точкой на противоположной стороне. Построим биссектрису $CK$ угла $C$ ($\angle ACB$).

1. Установим иглу циркуля в вершину $C$.
2. Проведём дугу произвольного радиуса, которая пересечёт стороны $CA$ и $CB$ в двух точках. Назовём их $S_1$ и $S_2$.
3. Из точек $S_1$ и $S_2$, как из центров, проведём две дуги одинакового радиуса так, чтобы они пересеклись внутри угла $C$ в точке $T$.
4. С помощью линейки проведём луч, начинающийся в вершине $C$ и проходящий через точку $T$.
5. Точка пересечения этого луча со стороной $AB$ и будет точкой $K$. Отрезок $CK$ является биссектрисой угла $C$. По построению, $\angle ACK = \angle KCB$.

Ответ: Построен отрезок $CK$ — биссектриса угла $C$ треугольника $ABC$.

На рисунке ниже показан пример треугольника $ABC$ с построенными в нём высотой $AM$ (красный отрезок), медианой $BD$ (зелёный отрезок) и биссектрисой $CK$ (синий отрезок).

657. Постройте треугольник по высоте и медиане, проведённым из одной вершины, и радиусу описанной окружности.

658. Постройте треугольник:

1) по двум сторонам и углу между ними;

2) по стороне и двум прилежащим углам.

1) по двум сторонам и углу между ними;

Пусть даны два отрезка с длинами $a$ и $b$ и угол $\alpha$. Требуется построить треугольник, у которого две стороны равны $a$ и $b$, а угол между ними равен $\alpha$. Для построения используются циркуль и линейка без делений.

1. Проведем произвольный луч с началом в точке $A$.
2. На этом луче отложим с помощью циркуля отрезок $AB$, длина которого равна $a$.
3. От луча $AB$ построим угол $\angle BAC$, равный данному углу $\alpha$.
4. На вновь построенном луче $AC$ отложим с помощью циркуля отрезок $AC$, длина которого равна $b$.
5. Соединим точки $B$ и $C$ отрезком с помощью линейки.

Треугольник $ABC$ построен. По построению, он имеет стороны $AB = a$, $AC = b$ и угол между ними $\angle BAC = \alpha$. Таким образом, он удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Искомый треугольник построен. Построение основано на первом признаке равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними) и однозначно определяет треугольник (с точностью до равенства), если длины заданных сторон положительны, а заданный угол находится в пределах от $0^\circ$ до $180^\circ$.

2) по стороне и двум прилежащим углам.

Пусть дан отрезок длиной $c$ и два угла $\alpha$ и $\beta$. Требуется построить треугольник со стороной, равной $c$, и прилежащими к ней углами, равными $\alpha$ и $\beta$. Для построения используются циркуль и линейка без делений.

1. Проведем прямую и отложим на ней отрезок $AB$, длина которого равна $c$.
2. От луча $AB$ в выбранной полуплоскости построим угол $\angle BAX$, равный данному углу $\alpha$.
3. От луча $BA$ в той же самой полуплоскости построим угол $\angle ABY$, равный данному углу $\beta$.
4. Лучи $AX$ и $BY$ пересекутся в некоторой точке $C$.

Треугольник $ABC$ построен. По построению, он имеет сторону $AB = c$ и прилежащие к ней углы $\angle CAB = \alpha$ и $\angle CBA = \beta$. Таким образом, он удовлетворяет всем условиям задачи. Следует отметить, что задача имеет решение только в том случае, если сумма данных углов меньше $180^\circ$ (то есть $\alpha + \beta < 180^\circ$), так как в противном случае лучи $AX$ и $BY$ не пересекутся (будут параллельны или расходящимися).

Ответ: Искомый треугольник построен. Построение основано на втором признаке равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам) и однозначно определяет треугольник (с точностью до равенства), если длина стороны положительна, а сумма прилежащих углов меньше $180^\circ$.

658. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведённой к третьей стороне.

659. Постройте окружность данного радиуса, касающуюся данной прямой в данной точке.

Задача на построение. Даны прямая $l$, точка $A$ на этой прямой и отрезок, длина которого равна искомому радиусу $r$.

Анализ

Искомая окружность должна касаться прямой $l$ в точке $A$. По свойству касательной к окружности, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, центр искомой окружности (обозначим его $O$) должен лежать на прямой, которая перпендикулярна прямой $l$ и проходит через точку $A$. Кроме того, по определению окружности, расстояние от ее центра $O$ до точки $A$, лежащей на окружности, должно быть равно радиусу $r$.

Таким образом, для построения окружности нам необходимо найти ее центр $O$. Точка $O$ должна удовлетворять двум условиям:

1. Лежать на прямой $p$, перпендикулярной прямой $l$ в точке $A$.
2. Находиться на расстоянии $r$ от точки $A$.

Построение

Выполним построение с помощью циркуля и линейки по следующему алгоритму:

1. Построим прямую $p$, проходящую через точку $A$ и перпендикулярную прямой $l$. Для этого:
а) Установим ножку циркуля в точку $A$ и произвольным (но не меняющимся) раствором циркуля сделаем засечки на прямой $l$ по обе стороны от точки $A$. Назовем полученные точки $B$ и $C$.
б) Из точек $B$ и $C$ проведем две дуги одинакового радиуса (большего, чем $AB$) так, чтобы они пересеклись. Обозначим одну из точек их пересечения как $D$.
в) С помощью линейки проведем прямую через точки $A$ и $D$. Эта прямая $p$ и будет искомым перпендикуляром к прямой $l$ в точке $A$.

2. Найдем центр окружности $O$. Для этого:
а) Измерим циркулем длину данного отрезка-радиуса $r$.
б) Установим ножку циркуля в точку $A$ и этим раствором ($r$) сделаем засечку на прямой $p$. Полученная точка и будет центром искомой окружности $O$. Отметим, что можно сделать две такие засечки (по одной с каждой стороны от прямой $l$), что соответствует двум возможным решениям. Для построения достаточно выбрать одну точку $O$.

3. Построим окружность. Установим ножку циркуля в найденную точку $O$ и проведем окружность радиусом $OA$, который по построению равен $r$.

Доказательство

Построенная окружность имеет центр в точке $O$ и радиус, равный $OA$. По построению (шаг 2), длина отрезка $OA$ равна заданному радиусу $r$. Окружность проходит через точку $A$, так как $A$ удалена от центра $O$ на расстояние радиуса. Прямая $l$ является касательной к окружности в точке $A$, так как по построению (шаг 1) радиус $OA$ лежит на прямой $p$, перпендикулярной прямой $l$. Следовательно, построенная окружность удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Построение перпендикуляра к прямой в заданной на ней точке всегда возможно и единственно. Отложить на полученном перпендикуляре отрезок заданной длины $r > 0$ от точки $A$ можно двумя способами (в одну и в другую сторону от прямой $l$). Следовательно, задача всегда имеет ровно два решения — две окружности, симметричные относительно данной прямой $l$.

Ответ: Искомая окружность строится следующим образом: из данной точки на прямой восстанавливается перпендикуляр к этой прямой, на нем откладывается отрезок, равный данному радиусу, — получается центр окружности. Затем из этого центра проводится окружность, проходящая через данную точку.

659. Постройте треугольник по стороне, высоте, проведённой к этой стороне, и медиане, проведённой к одной из двух других сторон.

660. Постройте касательную к окружности, проходящую через данную точку окружности.

Для построения касательной к окружности, проходящей через данную точку, лежащую на этой окружности, используется свойство касательной: касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Таким образом, задача сводится к построению перпендикуляра к радиусу в данной точке.

Дано:
Окружность с центром в точке $O$ и точка $A$, лежащая на этой окружности.

Алгоритм построения:
1. С помощью линейки проводим прямую через центр окружности $O$ и точку $A$. Эта прямая содержит радиус $OA$.
2. Устанавливаем острие циркуля в точку $A$ и чертим окружность (или две дуги) произвольного радиуса $r$. Эта окружность пересечет прямую $OA$ в двух точках. Обозначим их $M$ и $N$. Точка $A$ является серединой отрезка $MN$.
3. Из точек $M$ и $N$ проводим две дуги одинакового радиуса $R$, причем $R$ должно быть больше половины длины отрезка $MN$ (т.е. $R > r$). Эти дуги пересекутся в двух точках. Обозначим одну из них как $B$.
4. С помощью линейки проводим прямую через точку $A$ и точку $B$.

Доказательство:
По построению, точка $B$ равноудалена от точек $M$ и $N$ ($BM = BN$), а точка $A$ также равноудалена от $M$ и $N$ ($AM = AN = r$). Следовательно, прямая $AB$ является серединным перпендикуляром к отрезку $MN$. Это означает, что прямая $AB$ перпендикулярна прямой $OA$ ($AB \perp OA$).
Поскольку прямая $AB$ проходит через точку $A$ на окружности и перпендикулярна радиусу $OA$, проведенному в эту точку, то по признаку касательной прямая $AB$ является касательной к окружности. Построение верно.

Ответ: Построенная прямая $AB$, проходящая через точку $A$ и перпендикулярная радиусу $OA$, является искомой касательной.

Рис. 334

На рисунке 334 $\angle A = 46^\circ$, $\angle ACB = 68^\circ$, $\angle DEC = 120^\circ$. Найдите углы треугольников EFC и DBE.

661. Постройте прямоугольный треугольник:

1) по двум катетам;

2) по катету и прилежащему острому углу.

1) по двум катетам

Пусть даны два отрезка, длины которых равны $a$ и $b$. Требуется построить прямоугольный треугольник, катеты которого равны $a$ и $b$. Построение выполняется с помощью циркуля и линейки.

План построения:

1. Проведем произвольную прямую $l$ и выберем на ней точку $C$. Эта точка будет вершиной прямого угла.
2. В точке $C$ построим прямую $m$, перпендикулярную прямой $l$. Две прямые $l$ и $m$ образуют прямой угол $\angle C = 90^\circ$.
3. На прямой $l$ от точки $C$ отложим отрезок $CA$, длина которого равна $a$.
4. На прямой $m$ от точки $C$ отложим отрезок $CB$, длина которого равна $b$.
5. Соединим точки $A$ и $B$ отрезком.

Доказательство:

Треугольник $ABC$, полученный в результате построения, является прямоугольным, так как $\angle C = 90^\circ$ по построению. Его катеты $AC$ и $BC$ равны $a$ и $b$ соответственно, также по построению. Таким образом, треугольник $ABC$ — искомый.

Ответ: Для построения прямоугольного треугольника по двум катетам необходимо построить прямой угол, а затем на его сторонах отложить от вершины отрезки, равные длинам данных катетов. Концы этих отрезков, не совпадающие с вершиной прямого угла, соединяются, образуя гипотенузу.

2) по катету и прилежащему острому углу

Пусть дан отрезок длиной $a$ (катет) и острый угол $\alpha$, прилежащий к этому катету. Требуется построить прямоугольный треугольник по этим данным.

План построения:

1. Проведем произвольную прямую и отложим на ней отрезок $AC$, равный по длине данному катету $a$.
2. От луча $AC$ построим угол, равный данному углу $\alpha$, с вершиной в точке $A$. Для этого проведем луч $AP$ так, чтобы $\angle PAC = \alpha$.
3. В точке $C$ построим прямую, перпендикулярную прямой $AC$.
4. Точка пересечения луча $AP$ и перпендикулярной прямой, построенной в шаге 3, будет третьей вершиной треугольника. Обозначим эту точку $B$.

Доказательство:

В полученном треугольнике $ABC$ угол $C$ является прямым ($\angle C = 90^\circ$) по построению. Катет $AC$ равен $a$ по построению. Прилежащий к катету $AC$ острый угол $\angle A$ равен $\alpha$ также по построению. Следовательно, треугольник $ABC$ является искомым.

Ответ: Для построения прямоугольного треугольника по катету и прилежащему острому углу необходимо построить отрезок, равный данному катету. От одного конца этого отрезка отложить угол, равный данному острому углу, а из другого конца восстановить перпендикуляр. Точка пересечения луча угла и перпендикуляра будет третьей вершиной треугольника.

661. Через середину $O$ стороны $MK$ треугольника $MKN$ провели прямую, перпендикулярную стороне $MK$ и пересекающую сторону $MN$ в точке $C$. Известно, что $MC = KN$, $\angle N = 50^{\circ}$. Найдите угол $MCO$.

662. Постройте равнобедренный прямоугольный треугольник по катету.

Задача состоит в построении с помощью циркуля и линейки равнобедренного прямоугольного треугольника по известной длине его катета. В равнобедренном прямоугольном треугольнике катеты равны, а угол между ними — прямой ($90^\circ$). Пусть дан отрезок $a$, равный длине катета.

Построение

1. Проведем произвольную прямую и отметим на ней точку $C$. Эта точка будет вершиной прямого угла треугольника.
2. Через точку $C$ проведем прямую, перпендикулярную исходной. Для этого построим окружность с центром в $C$ произвольного радиуса, которая пересечет прямую в двух точках. Из этих двух точек как из центров проведем две дуги окружности одинакового радиуса (большего, чем радиус первой окружности). Прямая, проведенная через точку $C$ и точку пересечения дуг, будет перпендикулярна исходной прямой.
3. Получили две перпендикулярные прямые, образующие в точке пересечения $C$ прямой угол.
4. С помощью циркуля измерим длину данного катета $a$.
5. Не меняя раствора циркуля, проведем окружность (или дугу) с центром в точке $C$ и радиусом $a$.
6. Эта окружность пересечет перпендикулярные прямые в двух точках. Обозначим их $A$ и $B$.
7. Соединим точки $A$ и $B$ отрезком. Треугольник $ABC$ построен.

Доказательство

Докажем, что построенный треугольник $ABC$ является искомым.

• По построению, угол $\angle C$ образован двумя взаимно перпендикулярными прямыми, следовательно, $\angle C = 90^\circ$. Это означает, что треугольник $ABC$ — прямоугольный, а отрезки $AC$ и $BC$ — его катеты.
• Отрезки $AC$ и $BC$ являются радиусами одной и той же окружности с центром в $C$ и радиусом, равным $a$. Следовательно, $AC = BC = a$.
• Поскольку у треугольника $ABC$ две стороны равны ($AC = BC$), он является равнобедренным.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ является равнобедренным прямоугольным треугольником, катеты которого равны длине заданного отрезка $a$.

Ответ: Искомый треугольник $ABC$ построен. В нем $\angle C = 90^\circ$, а катеты $AC$ и $BC$ равны длине заданного отрезка.

662. В треугольнике ABC из вершины прямого угла C провели высоту CH и биссектрису CM. Длина отрезка HM в 2 раза меньше длины отрезка CM. Найдите острые углы треугольника ABC.

663. Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и углу при вершине.

Для построения равнобедренного треугольника по боковой стороне и углу при вершине нам понадобятся циркуль и линейка без делений. Пусть нам дан отрезок, длина которого равна боковой стороне $b$, и угол $\alpha$, равный углу при вершине.

Построение

1. Начертим произвольный луч с началом в точке $A$. Эта точка будет вершиной искомого треугольника.
2. От этого луча отложим угол, равный данному углу $\alpha$. Для этого построим второй луч из точки $A$ так, чтобы получился угол $\angle BAC = \alpha$.
3. С помощью циркуля измерим длину данной боковой стороны $b$.
4. Установим ножку циркуля в вершину угла, точку $A$, и проведем дугу окружности радиусом $b$. Эта дуга пересечет стороны угла в двух токах, которые мы назовем $B$ и $C$.
5. Соединим точки $B$ и $C$ с помощью линейки.

В результате мы получим треугольник $ABC$, который является искомым.

Доказательство

Рассмотрим построенный треугольник $ABC$ и докажем, что он удовлетворяет условиям задачи.

• Стороны $AB$ и $AC$ по построению являются радиусами одной и той же дуги окружности с центром в точке $A$. Следовательно, их длины равны данной боковой стороне $b$: $AB = AC = b$.
• Так как в треугольнике $ABC$ две стороны равны ($AB = AC$), то по определению он является равнобедренным.
• Угол $\angle BAC$ был построен равным данному углу $\alpha$. Так как этот угол заключен между двумя равными боковыми сторонами, он является углом при вершине равнобедренного треугольника.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ является равнобедренным, его боковая сторона равна $b$, а угол при вершине — $\alpha$, что и требовалось.

Исследование

Данная задача имеет единственное решение (с точностью до расположения и ориентации на плоскости) при условии, что заданный угол $\alpha$ больше $0^\circ$ и меньше $180^\circ$ ($0^\circ < \alpha < 180^\circ$). Если угол $\alpha$ будет равен $180^\circ$ или $0^\circ$, то все три вершины треугольника будут лежать на одной прямой, и треугольник выродится в отрезок. Если $\alpha > 180^\circ$, то обычно рассматривают угол $360^\circ - \alpha$, но в контексте школьной геометрии углы треугольника всегда меньше $180^\circ$.

Ответ: Построение выполнено согласно описанному алгоритму, который всегда приводит к искомому результату при $0^\circ < \alpha < 180^\circ$.

663. На рисунке 335 $BD = DC$, $DN \perp BC$, $\angle BDM = \angle MDA$. Найдите сумму углов $MBN$ и $BMD$.

Рис. 335

664. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и углу при основании.

Задача состоит в построении равнобедренного треугольника с помощью циркуля и линейки по заданному отрезку (основанию) и заданному углу (углу при основании).

Анализ

Пусть искомый равнобедренный треугольник $ABC$ построен. $AC$ — его основание, равное по длине данному отрезку $a$. Углы при основании $\angle BAC$ и $\angle BCA$ равны данному углу $\alpha$. Треугольник $ABC$ определяется стороной $AC$ и двумя прилежащими к ней углами. Это классическая задача на построение треугольника по стороне и двум прилежащим углам (второй признак равенства треугольников). Следовательно, задача разрешима.

Построение

Пусть дан отрезок, равный основанию $a$, и угол $\alpha$.

1. Начертим произвольную прямую $l$ и отметим на ней точку $A$.
2. С помощью циркуля отложим на прямой $l$ от точки $A$ отрезок $AC$, равный по длине данному основанию $a$.
3. От луча $AC$ в точке $A$ построим угол, равный данному углу $\alpha$. Для этого проведем луч $AM$ так, чтобы $\angle MAC = \alpha$.
4. Аналогично, от луча $CA$ в точке $C$ построим угол, равный $\alpha$, в ту же полуплоскость относительно прямой $l$. Для этого проведем луч $CN$ так, чтобы $\angle NCA = \alpha$.
5. Точку пересечения лучей $AM$ и $CN$ обозначим как $B$.
6. Соединим точки $A, B, C$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ сторона $AC$ по построению равна данному отрезку $a$. Углы $\angle BAC$ и $\angle BCA$ по построению равны данному углу $\alpha$. Согласно признаку равнобедренного треугольника, если два угла в треугольнике равны ($\angle BAC = \angle BCA$), то треугольник является равнобедренным. Основанием этого треугольника является сторона $AC$, противолежащая вершине $B$. Таким образом, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Построение возможно только в том случае, если лучи $AM$ и $CN$ пересекаются. Это происходит, когда сумма углов при основании в треугольнике меньше $180^\circ$. Поскольку оба угла при основании равны $\alpha$, должно выполняться неравенство $\alpha + \alpha < 180^\circ$, то есть $2\alpha < 180^\circ$, или $\alpha < 90^\circ$.

• Если $\alpha < 90^\circ$ (угол острый), лучи пересекаются, и задача имеет единственное решение.
• Если $\alpha = 90^\circ$ (угол прямой), лучи $AM$ и $CN$ будут параллельны, и точки пересечения не будет. Решения нет.
• Если $\alpha > 90^\circ$ (угол тупой), лучи будут расходиться, и точки пересечения также не будет. Решения нет.

Ответ: Чтобы построить равнобедренный треугольник, нужно выполнить следующие действия: 1) построить отрезок, равный данному основанию; 2) от каждого из концов этого отрезка в одну и ту же полуплоскость отложить углы, равные данному углу при основании; 3) точка пересечения построенных лучей (сторон углов) будет третьей вершиной искомого треугольника. Задача имеет решение только в том случае, если данный угол при основании острый (т.е. меньше $90^\circ$).

664. Разрежьте фигуру, изображённую на рисунке 336, на три части, не являющиеся квадратами, так, чтобы из этих частей можно было сложить квадрат.

Рис. 335

Рис. 336

665. Постройте угол, равный:

1) $45^\circ$;

2) $60^\circ$;

3) $75^\circ$;

4) $120^\circ$.

1) 45°
Для построения угла в 45° необходимо сначала построить прямой угол (90°), а затем разделить его пополам с помощью построения биссектрисы.
Шаг 1. Построение прямого угла. Проведем прямую и отметим на ней точку O.
Шаг 2. С помощью циркуля проведем дугу с центром в точке O произвольного радиуса. Точки пересечения этой дуги с прямой обозначим как A и B.
Шаг 3. Из точек A и B проведем две дуги одинакового радиуса (большего, чем радиус первой дуги) так, чтобы они пересеклись в точке C.
Шаг 4. Проведем луч OC. Угол $\angle{BOC}$ является прямым и его величина равна $90^\circ$.
Шаг 5. Построение биссектрисы. Из точки O проведем новую дугу, которая пересечет стороны угла OC и OB в точках D и E.
Шаг 6. Из точек D и E проведем две дуги одинакового радиуса внутри угла до их пересечения в точке F.
Шаг 7. Проведем луч OF. Этот луч делит угол $\angle{BOC}$ пополам.
Таким образом, построенный угол $\angle{FOB}$ равен $90^\circ / 2 = 45^\circ$.
Ответ: Угол построен.

2) 60°
Построение угла в 60° основано на построении равностороннего треугольника, так как все углы в равностороннем треугольнике равны 60°.
Шаг 1. Проведем произвольный луч с началом в точке O. Отметим на луче любую точку A.
Шаг 2. Установим раствор циркуля равным длине отрезка OA.
Шаг 3. Проведем дугу с центром в точке O и радиусом OA.
Шаг 4. Не меняя раствора циркуля, установим его ножку в точку A и проведем еще одну дугу так, чтобы она пересекла первую. Точку пересечения дуг обозначим B.
Шаг 5. Соединим точку O с точкой B, проведя луч OB.
В результате мы получили равносторонний треугольник OAB, поэтому угол $\angle{AOB}$ равен $60^\circ$.
Ответ: Угол построен.

3) 75°
Угол в 75° можно построить, скомбинировав уже известные построения. Например, $75^\circ = 60^\circ + 15^\circ$. Угол в 15° можно получить, разделив пополам угол в 30°, который, в свою очередь, является разностью между углами в 90° и 60°.
Шаг 1. Проведем луч OA. С помощью циркуля построим на нем угол $\angle{AOB}$, равный $60^\circ$ (как в пункте 2).
Шаг 2. Теперь на том же луче OA с вершиной в точке O построим прямой угол $\angle{AOC}$, равный $90^\circ$ (как в пункте 1).
Шаг 3. Угол $\angle{BOC}$ будет равен разности углов $\angle{AOC}$ и $\angle{AOB}$: $\angle{BOC} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.
Шаг 4. Построим биссектрису угла $\angle{BOC}$. Для этого из точек пересечения дуги (оставшейся от предыдущих построений) со сторонами OB и OC проведем две новые дуги одинакового радиуса внутри угла до их пересечения в точке D.
Шаг 5. Проведем луч OD. Он делит угол $\angle{BOC}$ пополам, то есть $\angle{BOD} = 15^\circ$.
Шаг 6. Искомый угол $\angle{AOD}$ является суммой углов $\angle{AOB}$ и $\angle{BOD}$. Его величина равна $60^\circ + 15^\circ = 75^\circ$.
Ответ: Угол построен.

4) 120°
Угол в 120° можно построить как угол, смежный с углом в 60°, или как сумму двух углов по 60°. Рассмотрим первый, более простой способ.
Шаг 1. Проведем прямую и отметим на ней точку O. Назовем лучи, выходящие из точки O, OA и OB.
Шаг 2. На одном из лучей, например OA, построим угол $\angle{AOC}$, равный $60^\circ$ (как описано в пункте 2).
Шаг 3. Угол $\angle{BOC}$ является смежным с углом $\angle{AOC}$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.
Шаг 4. Следовательно, величина угла $\angle{BOC}$ равна $180^\circ - \angle{AOC} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
Ответ: Угол построен.

665. Отрезок, длина которого равна $a$, разделили на пять равных отрезков. Найдите расстояние между серединами крайних отрезков.

666. Постройте угол, равный:

1) $30^\circ$;

2) $22^\circ30'$;

3) $15^\circ$.

1) 30°

Для построения угла $30^\circ$ необходимо сначала построить угол $60^\circ$, который является углом в равностороннем треугольнике, а затем разделить его пополам с помощью построения биссектрисы.
1. Начертим произвольный луч $OA$.
2. С центром в точке $O$ проведем дугу произвольного радиуса $R$. Точку пересечения дуги с лучом $OA$ обозначим $B$.
3. С центром в точке $B$ проведем дугу того же радиуса $R$ до пересечения с первой дугой в точке $C$.
4. Проведем луч $OC$. Угол $\angle{AOC}$ равен $60^\circ$, так как треугольник $\triangle{OBC}$ является равносторонним.
5. Построим биссектрису угла $\angle{AOC}$. Из точек $B$ и $C$ как из центров проведем две дуги одинакового радиуса внутри угла так, чтобы они пересеклись. Точку их пересечения обозначим $D$.
6. Проведем луч $OD$. Этот луч является биссектрисой угла $\angle{AOC}$.
В результате построенный угол $\angle{AOD}$ равен $\frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

Ответ: Угол $\angle{AOD}$ является искомым углом в $30^\circ$.

2) 22°30'

Угол $22^\circ30'$ (что равно $22.5^\circ$) можно получить путем последовательного деления прямого угла ($90^\circ$) пополам. Алгоритм построения следующий: строим угол $90^\circ$, затем делим его пополам, получая угол $45^\circ$, и, наконец, делим угол $45^\circ$ еще раз пополам.
1. Построим прямой угол. Для этого начертим произвольную прямую и отметим на ней точку $O$.
2. С центром в точке $O$ проведем дугу произвольного радиуса, которая пересечет прямую в двух точках, назовем их $A$ и $B$.
3. Из точек $A$ и $B$ проведем две дуги одинакового радиуса (большего, чем $OA$) так, чтобы они пересеклись над прямой в точке $C$.
4. Проведем луч $OC$. Угол $\angle{AOC}$ является прямым, то есть $\angle{AOC} = 90^\circ$.
5. Построим биссектрису угла $\angle{AOC}$ для получения угла в $45^\circ$. Первая дуга, проведенная из центра $O$, пересекает лучи $OA$ и $OC$. Обозначим точку пересечения с лучом $OC$ как $D$. Из точек $A$ и $D$ проведем две дуги одинакового радиуса внутри угла до их пересечения в точке $E$.
6. Проведем луч $OE$. Этот луч делит угол $\angle{AOC}$ пополам, следовательно, $\angle{AOE} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.
7. Построим биссектрису угла $\angle{AOE}$ для получения угла в $22.5^\circ$. Первая дуга с центром в $O$ пересекает луч $OE$ в некоторой точке, назовем ее $F$. Из точек $A$ и $F$ проведем две дуги одинакового радиуса внутри угла $\angle{AOE}$ до их пересечения в точке $G$.
8. Проведем луч $OG$. Этот луч делит угол $\angle{AOE}$ пополам.
В результате построенный угол $\angle{AOG}$ равен $\frac{45^\circ}{2} = 22.5^\circ = 22^\circ30'$.

Ответ: Угол $\angle{AOG}$ является искомым углом в $22^\circ30'$.

3) 15°

Угол $15^\circ$ можно получить, построив сначала угол $60^\circ$, затем разделив его пополам для получения угла $30^\circ$, и затем еще раз разделив полученный угол пополам.
1. Построим угол в $60^\circ$. Начертим луч $OA$. С центром в точке $O$ проведем дугу произвольного радиуса $R$, пересекающую луч в точке $B$. С центром в точке $B$ проведем дугу того же радиуса $R$, пересекающую первую дугу в точке $C$. Угол $\angle{AOC}$ равен $60^\circ$.
2. Построим биссектрису угла $\angle{AOC}$ для получения угла в $30^\circ$. Из точек $B$ и $C$ проведем две дуги одинакового радиуса до их пересечения в точке $D$. Проведем луч $OD$. Угол $\angle{AOD}$ равен $\frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.
3. Теперь построим биссектрису угла $\angle{AOD}$. Дуга, проведенная из центра $O$ в шаге 1, пересекает луч $OD$ в некоторой точке, назовем ее $E$.
4. Из точек $B$ (пересечение с лучом $OA$) и $E$ проведем две дуги одинакового радиуса внутри угла $\angle{AOD}$ до их пересечения в точке $F$.
5. Проведем луч $OF$. Этот луч делит угол $\angle{AOD}$ пополам.
Таким образом, угол $\angle{AOF}$ равен половине угла $\angle{AOD}$, то есть $\angle{AOF} = \frac{30^\circ}{2} = 15^\circ$.

Ответ: Угол $\angle{AOF}$ является искомым углом в $15^\circ$.

666. Точка C – середина отрезка AB, $AB = 10 \text{ см}$. На прямой AB найдите все точки X такие, что $AX + BX + CX = 12 \text{ см}$.