Номер 659, страница 169 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 23. Задачи на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 659, страница 169.

659. Постройте окружность данного радиуса, касающуюся данной прямой в данной точке.

Задача на построение. Даны прямая $l$, точка $A$ на этой прямой и отрезок, длина которого равна искомому радиусу $r$.

Анализ

Искомая окружность должна касаться прямой $l$ в точке $A$. По свойству касательной к окружности, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, центр искомой окружности (обозначим его $O$) должен лежать на прямой, которая перпендикулярна прямой $l$ и проходит через точку $A$. Кроме того, по определению окружности, расстояние от ее центра $O$ до точки $A$, лежащей на окружности, должно быть равно радиусу $r$.

Таким образом, для построения окружности нам необходимо найти ее центр $O$. Точка $O$ должна удовлетворять двум условиям:

1. Лежать на прямой $p$, перпендикулярной прямой $l$ в точке $A$.
2. Находиться на расстоянии $r$ от точки $A$.

Построение

Выполним построение с помощью циркуля и линейки по следующему алгоритму:

1. Построим прямую $p$, проходящую через точку $A$ и перпендикулярную прямой $l$. Для этого:
а) Установим ножку циркуля в точку $A$ и произвольным (но не меняющимся) раствором циркуля сделаем засечки на прямой $l$ по обе стороны от точки $A$. Назовем полученные точки $B$ и $C$.
б) Из точек $B$ и $C$ проведем две дуги одинакового радиуса (большего, чем $AB$) так, чтобы они пересеклись. Обозначим одну из точек их пересечения как $D$.
в) С помощью линейки проведем прямую через точки $A$ и $D$. Эта прямая $p$ и будет искомым перпендикуляром к прямой $l$ в точке $A$.

2. Найдем центр окружности $O$. Для этого:
а) Измерим циркулем длину данного отрезка-радиуса $r$.
б) Установим ножку циркуля в точку $A$ и этим раствором ($r$) сделаем засечку на прямой $p$. Полученная точка и будет центром искомой окружности $O$. Отметим, что можно сделать две такие засечки (по одной с каждой стороны от прямой $l$), что соответствует двум возможным решениям. Для построения достаточно выбрать одну точку $O$.

3. Построим окружность. Установим ножку циркуля в найденную точку $O$ и проведем окружность радиусом $OA$, который по построению равен $r$.

Доказательство

Построенная окружность имеет центр в точке $O$ и радиус, равный $OA$. По построению (шаг 2), длина отрезка $OA$ равна заданному радиусу $r$. Окружность проходит через точку $A$, так как $A$ удалена от центра $O$ на расстояние радиуса. Прямая $l$ является касательной к окружности в точке $A$, так как по построению (шаг 1) радиус $OA$ лежит на прямой $p$, перпендикулярной прямой $l$. Следовательно, построенная окружность удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Построение перпендикуляра к прямой в заданной на ней точке всегда возможно и единственно. Отложить на полученном перпендикуляре отрезок заданной длины $r > 0$ от точки $A$ можно двумя способами (в одну и в другую сторону от прямой $l$). Следовательно, задача всегда имеет ровно два решения — две окружности, симметричные относительно данной прямой $l$.

Ответ: Искомая окружность строится следующим образом: из данной точки на прямой восстанавливается перпендикуляр к этой прямой, на нем откладывается отрезок, равный данному радиусу, — получается центр окружности. Затем из этого центра проводится окружность, проходящая через данную точку.

659. Постройте треугольник по стороне, высоте, проведённой к этой стороне, и медиане, проведённой к одной из двух других сторон.