Номер 665, страница 169 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 23. Задачи на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 665, страница 169.

665. Постройте угол, равный:

1) $45^\circ$;

2) $60^\circ$;

3) $75^\circ$;

4) $120^\circ$.

1) 45°
Для построения угла в 45° необходимо сначала построить прямой угол (90°), а затем разделить его пополам с помощью построения биссектрисы.
Шаг 1. Построение прямого угла. Проведем прямую и отметим на ней точку O.
Шаг 2. С помощью циркуля проведем дугу с центром в точке O произвольного радиуса. Точки пересечения этой дуги с прямой обозначим как A и B.
Шаг 3. Из точек A и B проведем две дуги одинакового радиуса (большего, чем радиус первой дуги) так, чтобы они пересеклись в точке C.
Шаг 4. Проведем луч OC. Угол $\angle{BOC}$ является прямым и его величина равна $90^\circ$.
Шаг 5. Построение биссектрисы. Из точки O проведем новую дугу, которая пересечет стороны угла OC и OB в точках D и E.
Шаг 6. Из точек D и E проведем две дуги одинакового радиуса внутри угла до их пересечения в точке F.
Шаг 7. Проведем луч OF. Этот луч делит угол $\angle{BOC}$ пополам.
Таким образом, построенный угол $\angle{FOB}$ равен $90^\circ / 2 = 45^\circ$.
Ответ: Угол построен.

2) 60°
Построение угла в 60° основано на построении равностороннего треугольника, так как все углы в равностороннем треугольнике равны 60°.
Шаг 1. Проведем произвольный луч с началом в точке O. Отметим на луче любую точку A.
Шаг 2. Установим раствор циркуля равным длине отрезка OA.
Шаг 3. Проведем дугу с центром в точке O и радиусом OA.
Шаг 4. Не меняя раствора циркуля, установим его ножку в точку A и проведем еще одну дугу так, чтобы она пересекла первую. Точку пересечения дуг обозначим B.
Шаг 5. Соединим точку O с точкой B, проведя луч OB.
В результате мы получили равносторонний треугольник OAB, поэтому угол $\angle{AOB}$ равен $60^\circ$.
Ответ: Угол построен.

3) 75°
Угол в 75° можно построить, скомбинировав уже известные построения. Например, $75^\circ = 60^\circ + 15^\circ$. Угол в 15° можно получить, разделив пополам угол в 30°, который, в свою очередь, является разностью между углами в 90° и 60°.
Шаг 1. Проведем луч OA. С помощью циркуля построим на нем угол $\angle{AOB}$, равный $60^\circ$ (как в пункте 2).
Шаг 2. Теперь на том же луче OA с вершиной в точке O построим прямой угол $\angle{AOC}$, равный $90^\circ$ (как в пункте 1).
Шаг 3. Угол $\angle{BOC}$ будет равен разности углов $\angle{AOC}$ и $\angle{AOB}$: $\angle{BOC} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.
Шаг 4. Построим биссектрису угла $\angle{BOC}$. Для этого из точек пересечения дуги (оставшейся от предыдущих построений) со сторонами OB и OC проведем две новые дуги одинакового радиуса внутри угла до их пересечения в точке D.
Шаг 5. Проведем луч OD. Он делит угол $\angle{BOC}$ пополам, то есть $\angle{BOD} = 15^\circ$.
Шаг 6. Искомый угол $\angle{AOD}$ является суммой углов $\angle{AOB}$ и $\angle{BOD}$. Его величина равна $60^\circ + 15^\circ = 75^\circ$.
Ответ: Угол построен.

4) 120°
Угол в 120° можно построить как угол, смежный с углом в 60°, или как сумму двух углов по 60°. Рассмотрим первый, более простой способ.
Шаг 1. Проведем прямую и отметим на ней точку O. Назовем лучи, выходящие из точки O, OA и OB.
Шаг 2. На одном из лучей, например OA, построим угол $\angle{AOC}$, равный $60^\circ$ (как описано в пункте 2).
Шаг 3. Угол $\angle{BOC}$ является смежным с углом $\angle{AOC}$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.
Шаг 4. Следовательно, величина угла $\angle{BOC}$ равна $180^\circ - \angle{AOC} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
Ответ: Угол построен.

665. Отрезок, длина которого равна $a$, разделили на пять равных отрезков. Найдите расстояние между серединами крайних отрезков.