Номер 664, страница 169 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 23. Задачи на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 664, страница 169.

664. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и углу при основании.

Задача состоит в построении равнобедренного треугольника с помощью циркуля и линейки по заданному отрезку (основанию) и заданному углу (углу при основании).

Анализ

Пусть искомый равнобедренный треугольник $ABC$ построен. $AC$ — его основание, равное по длине данному отрезку $a$. Углы при основании $\angle BAC$ и $\angle BCA$ равны данному углу $\alpha$. Треугольник $ABC$ определяется стороной $AC$ и двумя прилежащими к ней углами. Это классическая задача на построение треугольника по стороне и двум прилежащим углам (второй признак равенства треугольников). Следовательно, задача разрешима.

Построение

Пусть дан отрезок, равный основанию $a$, и угол $\alpha$.

1. Начертим произвольную прямую $l$ и отметим на ней точку $A$.
2. С помощью циркуля отложим на прямой $l$ от точки $A$ отрезок $AC$, равный по длине данному основанию $a$.
3. От луча $AC$ в точке $A$ построим угол, равный данному углу $\alpha$. Для этого проведем луч $AM$ так, чтобы $\angle MAC = \alpha$.
4. Аналогично, от луча $CA$ в точке $C$ построим угол, равный $\alpha$, в ту же полуплоскость относительно прямой $l$. Для этого проведем луч $CN$ так, чтобы $\angle NCA = \alpha$.
5. Точку пересечения лучей $AM$ и $CN$ обозначим как $B$.
6. Соединим точки $A, B, C$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ сторона $AC$ по построению равна данному отрезку $a$. Углы $\angle BAC$ и $\angle BCA$ по построению равны данному углу $\alpha$. Согласно признаку равнобедренного треугольника, если два угла в треугольнике равны ($\angle BAC = \angle BCA$), то треугольник является равнобедренным. Основанием этого треугольника является сторона $AC$, противолежащая вершине $B$. Таким образом, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Построение возможно только в том случае, если лучи $AM$ и $CN$ пересекаются. Это происходит, когда сумма углов при основании в треугольнике меньше $180^\circ$. Поскольку оба угла при основании равны $\alpha$, должно выполняться неравенство $\alpha + \alpha < 180^\circ$, то есть $2\alpha < 180^\circ$, или $\alpha < 90^\circ$.

• Если $\alpha < 90^\circ$ (угол острый), лучи пересекаются, и задача имеет единственное решение.
• Если $\alpha = 90^\circ$ (угол прямой), лучи $AM$ и $CN$ будут параллельны, и точки пересечения не будет. Решения нет.
• Если $\alpha > 90^\circ$ (угол тупой), лучи будут расходиться, и точки пересечения также не будет. Решения нет.

Ответ: Чтобы построить равнобедренный треугольник, нужно выполнить следующие действия: 1) построить отрезок, равный данному основанию; 2) от каждого из концов этого отрезка в одну и ту же полуплоскость отложить углы, равные данному углу при основании; 3) точка пересечения построенных лучей (сторон углов) будет третьей вершиной искомого треугольника. Задача имеет решение только в том случае, если данный угол при основании острый (т.е. меньше $90^\circ$).

664. Разрежьте фигуру, изображённую на рисунке 336, на три части, не являющиеся квадратами, так, чтобы из этих частей можно было сложить квадрат.

Рис. 335

Рис. 336