Номер 661, страница 169 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 23. Задачи на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 661, страница 169.

661. Постройте прямоугольный треугольник:

1) по двум катетам;

2) по катету и прилежащему острому углу.

1) по двум катетам

Пусть даны два отрезка, длины которых равны $a$ и $b$. Требуется построить прямоугольный треугольник, катеты которого равны $a$ и $b$. Построение выполняется с помощью циркуля и линейки.

План построения:

1. Проведем произвольную прямую $l$ и выберем на ней точку $C$. Эта точка будет вершиной прямого угла.
2. В точке $C$ построим прямую $m$, перпендикулярную прямой $l$. Две прямые $l$ и $m$ образуют прямой угол $\angle C = 90^\circ$.
3. На прямой $l$ от точки $C$ отложим отрезок $CA$, длина которого равна $a$.
4. На прямой $m$ от точки $C$ отложим отрезок $CB$, длина которого равна $b$.
5. Соединим точки $A$ и $B$ отрезком.

Доказательство:

Треугольник $ABC$, полученный в результате построения, является прямоугольным, так как $\angle C = 90^\circ$ по построению. Его катеты $AC$ и $BC$ равны $a$ и $b$ соответственно, также по построению. Таким образом, треугольник $ABC$ — искомый.

Ответ: Для построения прямоугольного треугольника по двум катетам необходимо построить прямой угол, а затем на его сторонах отложить от вершины отрезки, равные длинам данных катетов. Концы этих отрезков, не совпадающие с вершиной прямого угла, соединяются, образуя гипотенузу.

2) по катету и прилежащему острому углу

Пусть дан отрезок длиной $a$ (катет) и острый угол $\alpha$, прилежащий к этому катету. Требуется построить прямоугольный треугольник по этим данным.

План построения:

1. Проведем произвольную прямую и отложим на ней отрезок $AC$, равный по длине данному катету $a$.
2. От луча $AC$ построим угол, равный данному углу $\alpha$, с вершиной в точке $A$. Для этого проведем луч $AP$ так, чтобы $\angle PAC = \alpha$.
3. В точке $C$ построим прямую, перпендикулярную прямой $AC$.
4. Точка пересечения луча $AP$ и перпендикулярной прямой, построенной в шаге 3, будет третьей вершиной треугольника. Обозначим эту точку $B$.

Доказательство:

В полученном треугольнике $ABC$ угол $C$ является прямым ($\angle C = 90^\circ$) по построению. Катет $AC$ равен $a$ по построению. Прилежащий к катету $AC$ острый угол $\angle A$ равен $\alpha$ также по построению. Следовательно, треугольник $ABC$ является искомым.

Ответ: Для построения прямоугольного треугольника по катету и прилежащему острому углу необходимо построить отрезок, равный данному катету. От одного конца этого отрезка отложить угол, равный данному острому углу, а из другого конца восстановить перпендикуляр. Точка пересечения луча угла и перпендикуляра будет третьей вершиной треугольника.

661. Через середину $O$ стороны $MK$ треугольника $MKN$ провели прямую, перпендикулярную стороне $MK$ и пересекающую сторону $MN$ в точке $C$. Известно, что $MC = KN$, $\angle N = 50^{\circ}$. Найдите угол $MCO$.