Номер 658, страница 169 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 23. Задачи на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 658, страница 169.

658. Постройте треугольник:

1) по двум сторонам и углу между ними;

2) по стороне и двум прилежащим углам.

1) по двум сторонам и углу между ними;

Пусть даны два отрезка с длинами $a$ и $b$ и угол $\alpha$. Требуется построить треугольник, у которого две стороны равны $a$ и $b$, а угол между ними равен $\alpha$. Для построения используются циркуль и линейка без делений.

1. Проведем произвольный луч с началом в точке $A$.
2. На этом луче отложим с помощью циркуля отрезок $AB$, длина которого равна $a$.
3. От луча $AB$ построим угол $\angle BAC$, равный данному углу $\alpha$.
4. На вновь построенном луче $AC$ отложим с помощью циркуля отрезок $AC$, длина которого равна $b$.
5. Соединим точки $B$ и $C$ отрезком с помощью линейки.

Треугольник $ABC$ построен. По построению, он имеет стороны $AB = a$, $AC = b$ и угол между ними $\angle BAC = \alpha$. Таким образом, он удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Искомый треугольник построен. Построение основано на первом признаке равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними) и однозначно определяет треугольник (с точностью до равенства), если длины заданных сторон положительны, а заданный угол находится в пределах от $0^\circ$ до $180^\circ$.

2) по стороне и двум прилежащим углам.

Пусть дан отрезок длиной $c$ и два угла $\alpha$ и $\beta$. Требуется построить треугольник со стороной, равной $c$, и прилежащими к ней углами, равными $\alpha$ и $\beta$. Для построения используются циркуль и линейка без делений.

1. Проведем прямую и отложим на ней отрезок $AB$, длина которого равна $c$.
2. От луча $AB$ в выбранной полуплоскости построим угол $\angle BAX$, равный данному углу $\alpha$.
3. От луча $BA$ в той же самой полуплоскости построим угол $\angle ABY$, равный данному углу $\beta$.
4. Лучи $AX$ и $BY$ пересекутся в некоторой точке $C$.

Треугольник $ABC$ построен. По построению, он имеет сторону $AB = c$ и прилежащие к ней углы $\angle CAB = \alpha$ и $\angle CBA = \beta$. Таким образом, он удовлетворяет всем условиям задачи. Следует отметить, что задача имеет решение только в том случае, если сумма данных углов меньше $180^\circ$ (то есть $\alpha + \beta < 180^\circ$), так как в противном случае лучи $AX$ и $BY$ не пересекутся (будут параллельны или расходящимися).

Ответ: Искомый треугольник построен. Построение основано на втором признаке равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам) и однозначно определяет треугольник (с точностью до равенства), если длина стороны положительна, а сумма прилежащих углов меньше $180^\circ$.

658. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведённой к третьей стороне.