Номер 662, страница 169 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 23. Задачи на построение. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 662, страница 169.

662. Постройте равнобедренный прямоугольный треугольник по катету.

Задача состоит в построении с помощью циркуля и линейки равнобедренного прямоугольного треугольника по известной длине его катета. В равнобедренном прямоугольном треугольнике катеты равны, а угол между ними — прямой ($90^\circ$). Пусть дан отрезок $a$, равный длине катета.

Построение

1. Проведем произвольную прямую и отметим на ней точку $C$. Эта точка будет вершиной прямого угла треугольника.
2. Через точку $C$ проведем прямую, перпендикулярную исходной. Для этого построим окружность с центром в $C$ произвольного радиуса, которая пересечет прямую в двух точках. Из этих двух точек как из центров проведем две дуги окружности одинакового радиуса (большего, чем радиус первой окружности). Прямая, проведенная через точку $C$ и точку пересечения дуг, будет перпендикулярна исходной прямой.
3. Получили две перпендикулярные прямые, образующие в точке пересечения $C$ прямой угол.
4. С помощью циркуля измерим длину данного катета $a$.
5. Не меняя раствора циркуля, проведем окружность (или дугу) с центром в точке $C$ и радиусом $a$.
6. Эта окружность пересечет перпендикулярные прямые в двух точках. Обозначим их $A$ и $B$.
7. Соединим точки $A$ и $B$ отрезком. Треугольник $ABC$ построен.

Доказательство

Докажем, что построенный треугольник $ABC$ является искомым.

• По построению, угол $\angle C$ образован двумя взаимно перпендикулярными прямыми, следовательно, $\angle C = 90^\circ$. Это означает, что треугольник $ABC$ — прямоугольный, а отрезки $AC$ и $BC$ — его катеты.
• Отрезки $AC$ и $BC$ являются радиусами одной и той же окружности с центром в $C$ и радиусом, равным $a$. Следовательно, $AC = BC = a$.
• Поскольку у треугольника $ABC$ две стороны равны ($AC = BC$), он является равнобедренным.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ является равнобедренным прямоугольным треугольником, катеты которого равны длине заданного отрезка $a$.

Ответ: Искомый треугольник $ABC$ построен. В нем $\angle C = 90^\circ$, а катеты $AC$ и $BC$ равны длине заданного отрезка.

662. В треугольнике ABC из вершины прямого угла C провели высоту CH и биссектрису CM. Длина отрезка HM в 2 раза меньше длины отрезка CM. Найдите острые углы треугольника ABC.